(联考)noip85

败犬专场...

T1 莓良心

我打扮成你喜欢的样子来看你了，广，不，\(da，darling...\)

若 \(u,v\) 被分在同一组，则对答案有 \(w_{u}+w_{v}\) 的贡献，于是：

\[\begin{aligned} \begin{array}{l} \text { ans }=\left(\sum w_{i}\right) \cdot\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}+\sum_{u \neq v}\left(w_{u}+w_{v}\right) \cdot\left\{\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right\} \\ \text { ans }=\left(\sum w_{i}\right) \cdot\left(\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}+(n-1)\left\{\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right\}\right) \end{array} \end{aligned} \]

直接算 \(O(n^{2})\) ，事实上只需要两个，所以可以用容斥来算：

\[\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\}=\frac{1}{k !} \sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}\left(\begin{array}{l} k \\ i \end{array}\right)(k-i)^{n} \]

快速幂爆算 \(O(n\log{n})\) ，线性筛可做到 \(O(n)\) 。

T2 尽梨了

我成为你心中的第一位了吗？

首先通过临项干扰来确定选择的先后顺序，在时刻 \(t\) ，如果先去 \(i\) 比先去 \(j\) 更优，那么则需满足 \(a_{j}\times(b_{i}+1)<a_{i}\times{b_{j}+1}\) 。列个式子写一下就能发现

按此排序后，就有个 \(O(n^{2})\) 的dp，设\(dp_{i,j}\) 表示从前 \(i\) 个中选了 \(j\) 个的最小时间，根据是否选第 \(i\) 个转移即可。

直接做是 \(O(n^{2})\) 时间空间上都无法接受，如果没有 \(a_{i}=0\) 的，那么时间增长是呈指数级的，所以最多去 \(\log T\) 个商店，于是第二维开到 \(\log{T}\) 即可。

如果有 \(a_{i}=0\) ，其一定排在序列末尾，先对 \(a_{i}\neq0\) 的做遍dp，剩下的按 \(b\) 排序，贪心选即可。

事实上第二维开到200即可通过此题

T3 团不过

眼泪没能流出来。因为已经哭过很多次了。

正难则反，设 \(f_{i}\) 表示 \(i\) 堆石子时先手必败的方案数， \(g_{i}\) 表示 \(i\) 堆石子合法的方案数，\(m=2^{n}-1\) 。那么最后答案即为 \(g_{n}-f{n}\) 。

则 \(g_{i}=m^{\underline{i}}\) ，第一堆有 \(m\) 个选择，第二堆则有 \(m-1\) 个选择，以此类推，就是下降幂的形式。

由 \(i-1\) 转移到 \(i\) ，有一下几种情况：

1. 前 \(i-1\) 堆任意选，通过调整第 \(i\) 堆使得异或和为0（一定存在），那方案数即为 \(g_{i-1}\) 。

2. 若前 \(i-1\) 堆异或和为0，若要先手必败，则需要异或和为0，但第 \(i\) 堆不能为0，所以不合法，应减去，方案数即为 \(f_{i-1}\) 。

3. 若前 \(i-1\) 堆中有 \(i-2\) 堆异或和为0，如果要先手必败，则只能让第 \(i\) 堆跟前 \(i-1\) 堆中剩下的那一堆相等，不合法，应减去。剩下的那一堆有 \(i-1\) 个位置可选，有\(m-(i-2)\) 种取值（要保证前 \(i-1\) 堆是合法的，才能判断是否先手必败），前 \(i-2\) 堆先手必败的方案数为 \(f_{i-2}\) ，那么此类总方案数即为 \((i-1)\times(m-(i-2))\times f_{i-2}\) 。

所以: \(f_{i}=g_{i-1}-f_{i-1}-(i-1)\times(m-(i-2))\times f_{i-2}\) ，直接递推即可。

T4 七负我

既然真白你说不要的话，神田君就归我了哦。

这部还没看过呢

结论题。

考场多模样例，多推性质。

100pts的话用meet in the middle 或 Born-Kerbosch找即可。