仪仗队及卡特兰数

仪仗队这个题

理论上来说

需要使用欧拉函数

但若是将此题的正方形改为长方形

欧拉函数就不太容易使用了

当一个点的横坐标和纵坐标的 GCD 大于 1 时就会被遮挡

于是我们可以求出 横纵坐标 公约数（不是最大公约数）为 i 的个数

f[i] = (n / i) * (m / i)f[i]=(n/i)∗(m/i)

由于某些点被重复计算，我们就要去一下重

减去

 

 

复杂度的话是O(nlogn)的

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int py[10000002];
int main()
{
    freopen("matrix.in","r",stdin);
    freopen("matrix.out","w",stdout);
    int n,m;
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    if(n==1&&m==1) {
        cout<<0;
        return 0;
    }
    if(n==1||m==1) {
        cout<<1;
        return 0;
    }
    int ans=(n-1)*(m-1);
    n--;m--;
    int l=min(n,m);
    for(int i=l;i>=2;i--)
    {
        py[i]=(n/i)*(m/i);
        for(int j=2*i;j<=l;j+=i)
        py[i]-=py[j];
        ans-=py[i];
    }
    cout<<ans+2;
}

卡特兰数：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式:

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

递推二式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

通项公式：

h(n)=(2n!)/n!*(n+1)!