杂项

远古答辩
我也看不懂。

这里抽出来两个 OI 中常见的模型，来分析一下这些东西能做到多好。

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1

$Q(S, x)$，给出一个参数 $x$ 和集合 $S$，查询其答案。
性质 1：对于一个集合 $S$，我们可以在 $O(|S|)$ 的复杂度内进行预处理，而后 $O(1)$ 回答 $Q(S, x)$。
性质 2：$Q(A \cup B, x) = Q(A, x) + Q(B, x)$，其中 $+$ 是一种可以 $O(1)$ 完成的运算。

问题 1：
初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，查询 $Q(S, y)$。允许离线。

这个就是经典的 CDQ 分治了。
在时间轴上分治，每次将 $mid$ 之前插入的元素放在一起预处理，然后把答案加在 $mid$ 之后的询问上。
复杂度 $O(n \log n)$。

问题 2：
初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，查询 $Q(S, y)$。强制在线。

还是 CDQ 分治。
考虑我们的分治是对时间轴进行的，所以本身就是从左到右的过程。
将递归过程刻画成树，其实就是对树进行 DFS。
我们动态维护这个过程即可。

当然，还有一种等价的理解方式为二进制分组。
考虑每次加入一个元素就新开一个集合，每当出现两个相同大小的集合的时候就合并成一个并预处理。
不难发现总复杂度 $O(n \log n)$。

问题 3：
初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。允许离线。

使用线段树分治。
对于每个元素，其生存周期为 $[l, r]$，直接挂到线段树上。
对于线段树上的每个节点，进行预处理。
总复杂度 $O(n \log n)$。

问题 4：
初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。强制在线。

这里就不好用分治做了。
使用分块，每 $\sqrt n$ 个划分到同一个集合里面，删除就重构。
总复杂度 $O(n \sqrt n)$。

至于为什么这个问题无法做到 $O(n \log n)$，有一个感性理解的方法。
考虑现在 $S$ 中有 $n$ 个元素。
我们首先进行查询。设这次查询访问了 $a$ 个集合，首先应当满足这 $a$ 个集合的并为 $S$。
则这 $a$ 个集合大小的和不小于 $n$，因此最大的集合的大小不小于 $\frac{n}{a}$。
接下来删除这个最大集合中的一个元素。会导致这个集合作废。
因此，两次操作产生的总复杂度为 $O(a + \frac{n}{a})$。
所以复杂度只能做到 $O(n \sqrt n)$。

在有其他特殊性质的时候也许会做到更优。例如 $+$ 可逆，或是存在其他答案计算方式（而不是只能 $O(|S|)$ 预处理 $O(1)$ 查询）
以及，这里是最坏情况。如果可以依赖随机性不知道能不能做......
但是 $+$ 可重复贡献并不算特殊性质。上述证明过程涵盖了 $+$ 可重复贡献的情况。

对于问题 1, 2, 3，$O(n \log n)$ 已经是复杂度下限了。因为归约单点加区间求和。

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2

$Q(S, x)$，给出集合 $S$ 和参数 $x$，询问其答案。
性质 1：允许严格 $O(1)$ 向 $S$ 中插入元素。
性质 2：计算 $Q(S, x)$ 复杂度 $O(1)$。

这个，感性理解的话，动态图连通性？
（可以加边，不能删边，两个并查集不能合并）

问题 1：初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。允许离线。

线段树分治。没啥好说的了。
允许严格 $O(1)$ 插入其实也就意味着操作可撤销。

问题 2：初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。强制在线。

这个还没什么好的做法。只能给到 $O(n^2)$。
感性理解一下的话就是，先查询一次，则必须要维护一个集合 $A$ 包含全部的元素。
考虑 $A$ 中第一个加进去的元素，我们将其删除，并保证后面不再加入。
这个时候如果暴力撤销是 $O(n)$ 的，直接把集合 $A$ 扔掉仍然会导致 $O(n)$ 的势能作废。
所以也就是 $O(n^2)$ 了。

added：为什么在线可以这么分析离线不可以。
因为强制在线的话可以根据现有的结构决定操作。
但是离线的话是根据操作决定结构。

问题 3：初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。强制在线。
保证一个性质：先加入的元素先被删除。

这个就是我们 baka's trick 了。
写过，丢链接跑路。
复杂度 $O(n \log n)$。

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3

这部分还没搞明白。有点困难的。

$Q(S, x)$，给出集合 $S$ 和参数 $x$，询问其答案。
性质 1：允许向 $S$ 中插入元素，并产生 $O(1)$ 的势能。
性质 2：计算 $Q(S, x)$ 复杂度 $O(1)$。
其中，势能可能会在插入/计算时部分释放，$O(1)$ 的势能会贡献 $O(1)$ 的复杂度。

直接点名路径压缩并查集就行了......吗？
带按秩合并的并查集单次永远不会超过 $O(\log n)$，毕竟高度有限。
但是这个模型里面可能会攒 $O(n)$ 的势能然后一次释放。

问题 1：初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。强制在线。
保证一个性质：先加入的元素先被删除。

这里有可能是 $O(n \log^2 n)$ 的。
考虑队列图连通性的线段树算法。这里每个点至多被增删 $O(\log n)$ 次。
（考虑每个点的祖先节点被加入/删除时自己才会被影响）
因此，无论势能在哪个位置被释放，至多只会被重复 $O(\log n)$ 次。
所以总复杂度不超过 $O(n \log^2 n)$，不知道能不能分析到更优。

问题 2：初始有一个空集 $S$，支持两种操作：插入一个元素 $x$ 到 $S$ 中，删除 $S$ 中的一个元素，查询 $Q(S, y)$。允许离线。

不会。