初等数学瞎扯Ⅲ：数论函数与筛法

0. 前置知识与基本定义

• \([op]\)：值为 \(1\) 当且仅当方括号内条件为真。记为艾弗森括号

• 唯一分解定理：一个正整数 \(x\) 可以被唯一分解为 \(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{c_i}\)，其中 \(\forall i\in[1,m],p_i\in \mathbb{P}\)。（\(\mathbb{P}\) 为质数集）。

1. 数论函数

1-1. 数论函数及其相关定义

• 数论函数：定义域为正整数的函数为数论函数，可以视作数列。

• 陪域：可能的取值范围。

• 加性函数：若对于任意 \(a,b\in \mathbb{N}_+\) 且 \(a\perp b\) 均有 \(f(ab)=f(a)+f(b)\)，则称 \(f\) 为 加性函数。

• 积性函数：若对于任意 \(a,b\in \mathbb{N}_+\) 且 \(a\perp b\) 均有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 为 积性函数。

• 完全积性函数：若对于任意 \(a,b\in \mathbb{N}_+\) 均有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 为 完全积性函数。完全积性函数一定是积性函数。

• 数论函数的加法：对于数论函数 \(f,g\)，若存在函数 \(h\) 满足 \(\forall x\in\mathbb{N}_+ , h(x)=f(x)+g(x)\)，则 \(h=f+g\)。

• 数论函数的数乘：对于数论函数 \(f\)，若存在函数 \(g\) 满足 \(\forall x\in\mathbb{N}_+ , g(x)=cf(x)\)，则 \(h=cf\)。

• 数论函数的点乘：对于数论函数 \(f,g\)，若存在函数 \(h\) 满足 \(\forall x\in\mathbb{N}_+ , h(x)=f(x)\cdot g(x)\)，则 \(h=f\cdot g\)。

1-2. 常见数论函数

1-2-1. 单位函数

记作 \(\epsilon\)，其中 \(\epsilon(n)=[n=1]\)。

\(\epsilon\) 是完全积性函数，证明显然。

1-2-2. 常数函数

记作 \(I\)，其中 \(I(n)=1\)，有时简写作 \(1\)。

\(I\) 是完全积性函数，证明显然。

1-2-2. 恒定函数

记作 \(id_k\)，其中 \(id_k(n)=n^k\)。

\(id_k\) 是完全积性函数，证明显然。

特别的，当 \(k=1\) 时，我们省略 \(k\)，简记为 \(id\)。

1-2-3. 本质不同质因子函数

记作 \(\omega(x)\)，即为对 \(x\) 做唯一分解后的 \(m\)。

特殊的，\(\omega\) 为加性函数，这也是介绍的唯一一个加性函数。

1-2-4. 除数函数

记作 \(\sigma_k(x)\)，可表示为 \(\sum\limits_{d|n}d^k\)，对于 \(k=0\) 时原式表示约数个数，可以记作 \(d(x)\) 或 \(\tau(x)\)，简写规则与恒定函数相同，且 \(\sigma(x)\) 表示 \(x\) 的约数个数和。

除数函数是积性函数，证明如下。
除数函数有计算式如下

\[\sigma_k(x)=\begin{cases} \prod\limits_{i = 1} ^ m (c_i + 1) & k = 0 \\ \sum\limits_{i = 1} ^ m \dfrac{p_i ^ {(c_i + 1)k} - 1}{p_i - 1} & k > 0\end{cases} \]

对于 \(k=0\)，其相当于对质数做乘法原理。

对于 \(k\neq 0\)，其相当于做完排列组合后相加，交换枚举顺序后等比数列求和即可得证。这里从略。

故其显然为积性函数。

1-2-5. 欧拉函数

最神奇的函数。个人认为和莫比乌斯函数重要程度不相上下。

欧拉函数的定义为在 \([1,x]\) 中与 \(x\) 互质的数的个数，记作 \(\varphi(p)\)。

为了考察这个函数，我们先探寻其在质数次幂的性质。

性质 1

\(\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1),p\in\mathbb{P}\)。

对于 \([1,p^k]\) 次方中的数，其与 \(p^k\) 不互质当且仅当其是 \(p\) 的倍数。

故答案为 \(p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)\)。

性质 2

\(\varphi(x)\) 是积性函数。

想要证明上述定理，只需要证明 \(a\perp b\) 对 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\times \varphi(b)\) 是充分的。

不妨令在 \([1,a]\) 中与 \(a\) 互质的数的集合为 \(A=\{x_1,x_2,...,x_n\}\)，则在 \([1,ab]\) 中与 \(a\) 互质的数构成的集合可以表示为 \(\{pa+x_i,i\in[1,n],0\leq p<b\}\)。由于 \(a\perp b\)，则在这些数中，\(pa\) 模 \(b\) 的结果互不相同（详见初等数论瞎扯Ⅰ：同余相关），故 \(pa+x_i\) 模 \(b\) 的结果也互不相同，因此对于每个 \(x_i\) 其中恰有 \(\varphi(b)\) 个与 \(b\) 互质。因此共有 \(\varphi(a)\varphi(b)\) 个与 \(ab\) 互质，原命题得证。

性质 3

设 \(x\) 被唯一分解为 \(\prod\limits_{i=1}^{l} p_i^{c_i}\)，则 \(\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^l\dfrac{p_i-1}{p_i}\)

结合性质 1 和性质 2，不难得出 \(\varphi(x)=\prod\limits_{i=1}^l p_i^{c_i-1} (p_i-1)\)。整理可得 \(\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^l \dfrac{p_i-1}{p_i}\)。这也是计算 \(\varphi(x)\) 最常用的方式。

对于这个性质，似乎还有一些容斥定理的证法，但我不会。

性质 4

若 \(a\mid b\)，则 \(\varphi(ab)=a\varphi(b)\)。

结合性质 3 证明。由于 \(a\mid b\)，因此 \(b\) 和 \(ab\) 的质因子集合相同。约去后得到 \(ab=ab\)，等式自然成立。

性质 5

若 \(p\) 为质数且 \(p\mid n\)，则有

\[\varphi(p)=\begin{cases}p\varphi(\dfrac{n}{p})&(p^2\mid n)\\(p-1)\varphi(\dfrac{n}{p})&(p^2\nmid n)\end{cases} \]

前半部分是性质 4，后半部分是性质 2。

性质 6

\(\sum\limits_{d\mid n} \varphi(d) = n\)

令数字 \(i\in[1,n],d=\gcd(n,i)\)，则 \(\dfrac{n}{d}\perp \dfrac{i}{d}\)，因此 \(\gcd(n,i)=d\) 的 \(i\) 的个数为 \(\varphi(\dfrac{n}{d})\)。而 \(d\mid n\)，故 \(n=\sum\limits_{d\mid n}\sum\limits_{i}[\gcd(n,i)=d]=\sum\limits_{d\mid n} \varphi(\dfrac{n}{d})=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)\)。

在稍晚介绍的迪利克雷卷积中，读者将了解到这是 \(\text{I}*\varphi=\text{id}\)

性质 7

\(2\mid \varphi(n),(n>2)\)。

若 \(x\perp n\)，则 \(n-x\perp n\)。故互质的数成对出现。特殊情况是 \(n-x=x\)，此时 \(x=\dfrac{n}{2}\)，\(x\nmid n\Leftrightarrow n>2\)，故得证。

性质 8

\(a\mid b\Rightarrow \varphi(a)\mid\varphi(b)\)

结合性质 4，\(\varphi(b)\) 必然可以被表示为 \(k\varphi(a)\)，得证。

性质 9

\(\sum\limits_{i=1}^n [\gcd(i,n)=d]=\varphi(\dfrac{n}{d})\)

一个观察是 \(\gcd(i,n)=d\Leftrightarrow \gcd(\dfrac{i}{d},\dfrac{n}{d})=1\)，根据欧拉函数的定义得证。此性质常用于反演。

1-2-6. 莫比乌斯函数

莫比乌斯的函数的计算式如下。

\[\mu(n)= \begin{cases} 1&(n=1)\\ 0&\exists p\in \mathbb{P},p^2\mid n\\ (-1)^k& \text{otherwise} \end{cases} \]

其中 \(k\) 为数字 \(n\) 的质因子个数，根据计算式其显然为积性函数。

莫比乌斯函数的更多性质以及其计算式为什么如此需要引入狄利克雷卷积，我们将在下文中详细探讨这一点。

2.狄利克雷卷积

2-1. 狄利克雷卷积的定义

对于两个数论函数 \(f\) 和 \(g\)，定义其狄利克雷卷积的结果是 \(h_n=\sum\limits_{d\mid n} f(d)g(\dfrac{n}{d})\)，记为 \(h=f*g\)。

狄利克雷卷积具有交换律，结合律和分配律，我们将在下面逐条证明这一点。

对于任意两个数论函数 \(f,g\)，\(f*g=g*f\)，即交换律。

考虑令 \(h=f*g\)，则可推出下式。

\[\begin{aligned} h_n=&\sum_{d\mid n} f(d)g(\dfrac{n}{d})\\ =&\sum_{d\mid n} g(d)f(\frac{n}{d})\\ =&g*f \end{aligned} \]

得证。其中第一步到第二步相当于是对于每个 \(d\)，令 \(d\leftarrow \dfrac{n}{d}\)。

对于任意三个数论函数 \(f,g,h\)，\((f*g)*h=f*(g*h)\)，即结合律。

令 \(r=(f*g)*h\)，则可推出下式。

\[\begin{aligned} r_n=&\sum_{t\mid n}(\sum_{d\mid t} f(d)g(\dfrac{t}{d}))h(\frac{n}{t})\\ =&\sum_{d\mid n} f(d)(\sum_{t\mid \frac{n}{d}}g(t)h(\frac{n}{dt}))\\ =&f*(g*h) \end{aligned} \]

得证。其中第一步到第二步相当于是交换求和顺序。

对于任意三个数论函数 \(f,g,h\)，\(f*(g+h)=f*g+f*h\)，即分配律。

令 \(r=f*(g+h)\)，则可推出下式。

\[\begin{aligned} r_n=&\sum_{d\mid n}f(d)(g(\dfrac{n}{d})+h(\dfrac{n}{d}))\\ =&\sum_{d\mid n} f(d)g(\dfrac{n}{d})+\sum_{d\mid n} f(d)h(\dfrac{n}{d})\\ =&f*g+f*h \end{aligned} \]