ECC

素数 prime，又称为质数，是指，除了1和它本身，没有其他因数的数。

素数的定理：

　　1)在一个大于1的数a和它的2倍之间必定存在至少一个素数；

素数的性质：

　　1)在所有的大于10的质数中，个位数，只有1,3,5,9；

素数还没有自己的生成函数，只能通过素数检测函数，进行循环判断；

　　C的基本判断函数：

　　　　

大数的素数测试，有很多优化的算法，并不是简单的试除法，

确定性的素数判定法：太慢了

非确定性的素数判定法：

　　素数测试，输入是素数，来检测，该数并没有其他因子；绝不会把素数判断为合数，但可能把合数判断为素数。

　　合数测试，输入是合数，来检测，该数还有其他因子，米勒-拉宾(Miller-Rabin)测试。

 

互素，又称为互质，公约数只有1的两个整数，例如8，10的最大公因数是2。

 

梅森素数，Mersenne prime，是由梅森数来的。

梅森数，是指形如2^p - 1的一类数，其中指数p是素数，记为Mp，如果梅森数为素数，就称为梅森素数；

目前仅仅发现了49个梅森素数；

 

ECC内部的椭圆曲线分为两大类，素数(p)，二次多项式(2^m) 

 

ECC内部计算的blinding操作，在乘法过程中，加入输入的随机数来掩盖其中的中间值；

 

ECC的基于大素数P的椭圆曲线的方程是：y² = x³ + ax + b mod p

　　NIST推荐的曲线中，a = -3，这样可以提高计算效率；

　　cofactor，余因子，必须不是n的因子，NIST推荐的曲线，一般cofactor都是1，2，4

　　n，基点G的阶，n*cofactor表示一条曲线上的所有点的个数。

 

ECC中P素域上的椭圆曲线的随机生成，需要一个160bit的seed，经过sha1运算之后，得到c，

　　a直接定为：-3

　　计算b：b²*c = -27 (mod p)

 

 

ECC Shamir trick，同时做两个点乘，内部进行分解，转变为更小的倍点和点加。

　　R = k*P + l*Q

 

ECC-C25519/Ed25519基于最新的一种椭圆曲线的方程，y² - x² = 1 + d*x²*y² mod p 

 

ECC中的affine coordinate和jacobian coordinate坐标系：

在affine coordinate，曲线的方程为：y² = x³ + ax + b mod p

在jacobian coordinate中，曲线的方程为：y² = x³ + axz⁴ + bz⁶

affine coordination 到Jacobian coordination的转换：

　　x = X/Z² mod p

　　y = Y/Z² mod p

Jacobian coordination 到affine coordination的转换：

　　X = x

　　Y = y

　　Z = 1

有些design内部，还可能使用standard projective来做运算，防止一些side-channel attack，这些运算如果使用

　　　　Jacobian坐标系不能实现，计算完成在转换为affine projective

Affine(x,y) 到 Standard_Prj(X,Y,Z)转变，

　　x = X/Z mod p

　　y = Y/Z mod p

standard_Prj(X,Y,Z) 到 Affine(x,y)转变，

　　X = x

　　Y = y

　　Z = 1

Z变量在standard_prj中的值是不等于Jacobian中的值的。

 

ecc曲线是关于x轴，可以对称的。曲线上的点的个数总共有order(阶)个。一般的可使用的点的个数会远小于order的值。

　　因为一般我们都取G点的n点乘的点的集合。n*G的点乘结果表示该曲线对应的无穷远点。

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