逆元的三种计算方法

合集 - 数论(3)

1.同余定理2023-08-272.基础数论2023-08-27

3.逆元的三种计算方法2023-09-14

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逆元的三种计算方法

• 快速幂求逆元
• 扩展欧几里得求逆元
• 线性求逆元

快速幂求逆元

前提：p为质数

由费马小定理知：在p为质数的情况下，$a^{p-1}(mod\quad p)$的变形为：$a\times a^{p-2}(mod\quad p)$

则$a^{p-2}(mod\quad p)$就是逆元

int inv(int x,int p) {return qmi(x, p - 2, p) % p;}
 
int res = inv(a, p);
if (a % p) printf("%d\n", res);
else puts("impossible");

扩展欧几里得求逆元

前提：a与p互质

$ax \equiv 1\ (mod\ p)$

1. 将乘法逆元转化为不定方程，等价变形$ax+py = 1$
2. 扩展欧几里得求$ax + py = gcd(a,p)$的解$x$，$(x\%p+p)\%p$即答案

int a, p, x, y;
cin >> a >> p;
exgcd(a, p, x, y);
cout << (x % p + p) % p << endl;

线性求逆元

线性求逆元

在求某个数的逆元时使用费马小定理或扩展欧几里得定理，而在求$1$到$p - 1$连续的关于$p$的逆元，而$p$较大时，时间复杂度吃不消，可以使用下面算法在$O(n)$的时间复杂度内解决

前提：$p$为素数

递推式：

$$inv[i] = (M - M\ /\ i)\ *\ inv[M\ \%\ i]\ \%\ M$$

推导过程：

$$\text{设:}t = M/i\quad k = M\%i \\ \Rightarrow t*i + k \equiv 0 (mod\ i) \\ \Rightarrow -t * i \equiv k(mod\ M) \\ \text{将上面两式同时除以i * k得:}\ -t * inv[k] \equiv inv[i](mod\ M) \\ \text{替换t和k得:}\ inv[i] = (M - M / i) * inv[M \% i]\% M \\ $$

$1$的逆元为$1$，初始化$inv[0] = inv[1] = 1$，这样就可以通过递推式得到$1\to p\ (mod\ p)$的所有逆元了

inv[0] = inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
	inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
}