快速幂

求\(a^n\)：

传统做法：\(a \times a \times ...\times a\),时间复杂度O(n)

快速幂算法：

\(5^{13} \to 5 \times 5^6 \times 5^6 \to 5 \times 15625 \times 15625\) 复用相同的数

\(2^8 \to (2^4)^2 \to 2^4 \times 2^4\)

\(2^4 \to 2^2 \times 2^2\)

时间复杂度O(log(n))

而对应的幂使用二进制的位值\(x^{22}=x^{16}\times x^4\times x^2\),其中22的二进制为10110

模板

基本快速幂

typedef long long ll;
//base代表底数，power代表指数
ll fastPower(ll base, ll power) {
	ll result = 1;
    while (power) {
		if (power & 1) { /*power按位与1，若结果为奇数，返回1(true)，为偶数，
  返回0(false)根本目的是判断此时指数的奇偶性*/
			result = result * base;//逐位获取power的二进制位，遇0累乘
        }
        power >>= 1;/*power右移一位，即除二操作，此时不管奇偶，因为整数类型会删去小数部分*/
        base *= base;
    }
    return result;
}

但当结果过大时题目一般会要求求模，即求 m^k mod p

long long qmi(int m, int k, int p)
{
    long long res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

高精快速幂