递归与分治

递归

递归的基本思想是某个函数直接或者间接地调用自身，这样原问题的求解就转换为了许多性质相同但是规模更小的子问题。求解时只需要关注如何把原问题划分成符合条件的子问题，而不需要过分关注这个子问题是如何被解决的。

递归代码最重要的两个特征：结束条件和自我调用。自我调用是在解决子问题，而结束条件定义了最简子问题的答案

int func(传入数值) {
  if (终止条件) return 最小子问题解;
  return func(缩小规模);
}

分治

就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并

大概的流程可以分为三步：分解 -> 解决 -> 合并。

1. 分解原问题为结构相同的子问题。
2. 分解到某个容易求解的边界之后，进行递归求解。
3. 将子问题的解合并成原问题的解。

分治法能解决的问题一般有如下特征：

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
• 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质，利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
• 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

如果各子问题是不独立的，则分治法要重复地解公共的子问题，也就做了许多不必要的工作。此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。

要点

明白一个函数的作用并相信它能完成这个任务，千万不要跳进这个函数里面企图探究更多细节， 否则就会陷入无穷的细节无法自拔

就以树的重心这道题为例

// 返回以u为根的子树中点的个数
int dfs(int u) {
    st[u] = true;
 
    int sum = 1, res = 0;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) {
            int s = dfs(j); //
            res = max(res, s);
            sum += s;
        }
    }
    res = max(res, n - sum);
    ans = min(ans, res);
    return sum; //
}

在编写前要清楚函数要返回什么，并处理好正确的返回，这样在写递归时就可以理解了，不用想太多层，就表面一层就可以理解

    res = max(res, n - sum);
    ans = min(ans, res);
    return sum;

在这最后我们返回了删除j节点的连通块的最大值的最小值

        if (!st[j]) {
            int s = dfs(j);
            res = max(res, s);
            sum += s;
        }

而返回的内容我们需要在这里给“接住”

递归是一种编程技巧，一种解决问题的思维方式；分治算法很大程度上是基于递归的，解决更具体问题的算法思想