同余定理

合集 - 数论(3)

1.同余定理2023-08-27

2.基础数论2023-08-273.逆元的三种计算方法2023-09-14

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定理

若m为正整数，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）$\div$ m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)

两个数的和，差，积的余数等于余数的和，差，积
因为多个数可以分解为多步两个数的运算，所以以上结论在多个数的情况下也成立
80 $\div$ 7 = 11 余 3，65 $\div$ 7 = 9 余 2
(80 + 65) $\div$ 7 = 145 $\div$ 7 = 20 余 5=3+2
(80 - 65) $\div$ 7 = 15 $\div$ 7 = 2 余 1=3-1
(80 $\times$ 65) $\div$ 7 = 5200 $\div$ 7 = 742 余 6=3*2

余数有正余数和负余数
65$\div$7=9余3，商8余9，商10余-5...
一般求的都是最小正余数，最大负余数

性质

1. 自反性：a≡a(mod m)
2. 对称性：若a≡b(mod m)，则有b≡a(mod m)
3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则有a≡c(mod m)

应用

1. 在不定方程中的应用

   已知x + 3y = 100,x,y皆为正整数，求x：

   A:41 B:42 C:43 D:44

   100 $\div$ 3 余 1，则x,3y除以3的余数和等于1，易知3y $\div$ 3 余0，则x $\div$ 3 余 1，故只有C选项除3余1

2. 在数列问题中的应用

   某数列起始两项为2和3，往后每项为前两项之和，求第2020项除以3的余数

   由同余定理知：和的余数等于余数的和，所以：

   数：2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

   余：2 0 2 2 1(4>3) 0 1 1 /2 0

   再往后算可以发现余数从89开始以8为单位循环出现，故2020 $\div$ 8 = 252 余 4

   所以第2020项除以3的余数为2

3. 在日期问题中的应用

   已知今天是星期三，问再过2019²⁰¹⁸天后是星期几？

   星期是以7为单位循环的，所以题目本意是要求2019²⁰¹⁸除以7余几

   由同余定理知：乘积的余数等于余数的乘积，所以：

   2019 $\div$ 7 =288 余 3，所以2019²⁰¹⁸ $\div$ 7 余 3²⁰¹⁸

   往7上凑：3² = 9= 7 + 2，3²⁰¹⁸ = 9¹⁰⁰⁹ = (7 + 2)¹⁰⁰²

   故(7 + 2)¹⁰⁰² $\div$7余2¹⁰⁰⁹

   2¹⁰⁰⁹ = 2^336*3+1 = 8³³⁶ $\times$ 2 = (7 + 1)³³⁶ $\times$ 2

   可见(7 + 1)³³⁶ $\div$ 7 余 1，2 $\div$ 7 余 2

   则2019²⁰¹⁸ $\div$ 7 余 1 $\times$ 2 = 2

   所以在过2019²⁰¹⁸天后是星期五