单调栈和单调队列入门
单调栈是什么?
分为单调递增和单调递减栈。(栈内元素成递增或者递减性)
例如:
当前单调递增栈内元素[1,2,4],之后入栈的元素为(3),
为了维护单调性，元素(4)出栈
\[[1,2,4]-入栈(3)
-出栈(4)-
[1,2,3]-入栈(0)-出栈(1)(2)(3)-[0]
\]
单调递增栈主要作用:
把序列中每个元素放到单调栈中进行维护就可以在\(O(n)\)时间复杂度内
求出区间每个元素为最大值/最小值时,影响的区间范围为[left,right]。
单调递增↗栈求最小值影响范围
单调递减↘栈求最大值影响范围
\(例如:序列{1,2,3,2,1}\)
1 2 3 2 1
口
口口口
口口口口口
0 1 2 3 4
用单调递减栈即可求出
| 最大值 | 区间[left,right] |
|---|---|
| 1 | [0,0] |
| 2 | [0,1] |
| 3 | [0,4] |
| 2 | [3,4] |
| 1 | [4,4] |
维护单调栈:
这里我们以单调递增栈为例,求最小值影响范围
我们规定将下标(index)压入栈中。为了方便编码,我们在使用单调栈的数组的最后加入-INF(一个极小值),方便后续的出栈。
序列变成 \({1,2,3,2,1,-INF}\)
| i | 要入栈的height[i] | 栈的变动 | 变动后的栈 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | push(0) | [0] |
| 1 | 2 | push(1) | [0,1] |
| 2 | 3 | push(2) | [0,1,2] |
| 3 | 2 | pop(2),push(3) | [0,1,3] |
| 4 | 1 | pop(3),pop(1),push(4) | [0,4] |
| 5 | -INF | pop(0),push(4) | [] |
[left,right]中的right:
若元素height[i]从栈中pop出就说明这个元素为最小值的右侧影响范围到此为止。
[left,right]中的left:
因为栈内元素单调递增,栈pop之后，栈顶的元素height[s.top()]不大于pop的元素。所以左侧的影响范围为pop之后栈顶的元素的下标+1，这里需要注意pop之后栈为空的情况，因为pop之后栈为空，说明没有元素是比pop出的这个元素小，那这个pop出的元素影响它左端的所有元素。
//单调递增栈
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int MAXN = 1e6 + 1;
LL height[MAXN];
int N;
void solve(){
height[N] = -INF;
stack<int> s;
for(int i=0;i<=N;i++){
while(!s.empty() && height[s.top()] > height[i]){
int cur = s.top();
s.pop();
int _left = s.empty()?0:s.top()+1;
int _right = i-1;
cout << height[cur] << " " << _left << " " << _right << endl;
}
s.push(i);
}
}
int main() {
cin >> N;
for(int i=0;i<N;i++) cin >> height[i];
solve();
return 0;
}
//单调递减栈
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int MAXN = 1e6 + 1;
LL height[MAXN];
int N;
void solve(){
height[N] = INF;
stack<int> s;
for(int i=0;i<=N;i++){
while(!s.empty() && height[s.top()] < height[i]){
int cur = s.top();
s.pop();
int _left = s.empty()?0:s.top()+1;
int _right = i-1;
cout << height[cur] << " " << _left << " " << _right << endl;
}
s.push(i);
}
}
int main() {
cin >> N;
for(int i=0;i<N;i++) cin >> height[i];
solve();
return 0;
}
单调栈模板
void solve(){
//单调递增栈 -INF,递减 INF
height[N] = -INF;
stack<int> s;
for(int i=0;i<=N;i++){
//单调递增栈 >,递减 <,等号看题目
while(!s.empty() && height[s.top()] > height[i]){
int cur = s.top();
s.pop();
int _left = s.empty()?0:s.top()+1;
int _right = i-1;
cout << height[cur] << " " << _left << " " << _right << endl;
}
s.push(i);
}
}
单调队列
引入双端队列的概念。
元素可以从队列的头部和尾部进行插入和删除。
那么单调队列和单调栈的区别在于栈与双端队列的区别，在原有单调栈的基础上，你可以修改和获取到栈底的元素，这就导致了你可以对最值影响区间[Left,Right]中的Left进行控制,并且可以直接获得这个区间最值是多少。(原本因为栈顶元素未知，所以无法获取),也就是说可以 在\(O(n)\)求整个序列中,区间长度为k的区间最值
//输出区间[left,right],长度为m的最小值.
inline void solve(){
deque<int> q;
for(int i=0;i<n;i++) {
//单调递增栈 >,递减 <
while(!q.empty()&&height[q.back()]>height[i]) q.pop_back();
//以下根据题意进行更改
printf(i>0?"0\n":"%d\n",height[q.front()]);
q.push_back(i);
if(i-q.front()>=m) q.pop_front();//限制区间长度为m
}
putchar('\n');
}
