数论 错排问题 信封问题

什么是错排问题？

　　十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

　　写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？

错排公式:

　　拿信封问题举例子：

　　设 Fn 为n封信都装错的情况 ( 信封编号 与 信的编号 各不对应)

　　第一步，

　　　　手里有一封编号为 A 的信，把它放到 n 封信封中，因为不能放到位置 A , 所以共有 n-1 种放法。

 

　　　　A(　×　)

　　　　B(　√　)　　<= 可以放

　　　　C(　√　)　　<= 可以放

　　　　......　　　　......

　　　　N(　√　)　　<= 可以放

　　　　总共 N-1 种。

 

 

　　第二步，

　　　　假设 编号为 A 的信 放入了编号为 B 的信封。

 

　　　　A(　　  )

　　　　B(　A　)　　

　　　　C(　　  )　　

　　　　......

　　　　N(　　  )　　

 

　　　　那么 现在放编号为 B 的信, 就有两种情况。

　　　　⑴放到位置 A， 这时候相当于信 A 与 信 B 交换位置，那么剩下 n-2 封信，就有 F(n-2) 种放法。

 

　　　　A(　B　)

　　　　B(　A　)　　_

　　　　C(　　  )　　|

　　　　......　　　　 |　　N-2种　　

　　　　N(　　  )　　|

 

　　　　⑵不放到位置 A, 这时候相当与把 n-1 封信 放到 n-1 个不同的信封中，即 F(n-1) 的情况，那么有 F(n-1) 种方法。

　　　　

　　　　A(　B　)

　　　　B(　  　)　　_

　　　　C(　　  )　　|

　　　　......　　　　 |　　N-1种　　

　　　　N(　　  )　　|

 

　　总计有 F(n-1) + F（n-2）种

　　结合第一步，得到

　　　　F(n) = (n-1) [F(n-2) + F(n-1)]　　

　　　　F(1) = 0, F(2) = 1.