即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。 除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。 21n+2除以5余3，要求21n除以5余1。 21n除以5余1，21除以5余1，要求n除以5余1 （乘数之余等于余数之乘），则n最小取1。 所以满足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小的数是21×1+2=23。 标准解法：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算 )。即 15÷7=2……余1， 21÷5=4……余1， 70÷3=23……余1. 再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加， 15×2+21×3+70×2=233. (将233处用i代替，用程序可以求出) 最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数. 233÷105=2……余23， 这个余数23就是合乎条件的最小数.
对于这个我们有两种算法
1 大数翻倍法
#include<algorithm> //会用到一个很神奇滴函数，加着 #include<iostream> using namespace std; long long n,a[11],b[11],i,ans,c; //用long long定义 long long zxgbs(long long a,long long b)
{ return a*b// __gcd(a,b); } //求最小公倍数 int main(){ cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i]; //输入部分，不说了 c=a[1];ans=b[1]; //第一次建立不用循环，直接写进去 for(i=2;i<=n;i++) { for(;ans%a[i]!=b[i];) ans+=c; //ans暴力往上加，加到符合这次的标准 c=zxgbs(c,a[i]); //用函数把a[i]加进去，后面每次加的都要是这次的倍数 } cout<<ans; //输出结果 return 0; }
2.EX—gcd
#include<cstdio>
#define ll long long
ll n,a[16],m[16],Mi[16],mul=1,X;
inline int rd(){
int io=0;char in=getchar();
while(in<'0'||in>'9')in=getchar();
while(in>='0'&&in<='9')io=(io<<3)+(io<<1)+(in^'0'),in=getchar();
return io;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return ;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
}
int main(){
n=rd();
for(int t=1;t<=n;++t){
int M=rd();m[t]=M;
mul*=M;
a[t]=rd();
}
for(int t=1;t<=n;++t){
Mi[t]=mul/m[t];
ll x=0,y=0;
exgcd(Mi[t],m[t],x,y);
X+=a[t]*Mi[t]*(x<0?x+m[t]:x);
}
printf("%lld",X%mul);
return 0;
}
这就是CRT
但是我们知道GCD后有EX—gcd 所以CRT后也有EX—CRT
EX—CRT是这么说的（两数不互质）
PS 这里的Ai是不互质的，所以EXcrt根本不可能用CRT去解
代码如下
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n;
ll ai[100001],bi[1000001];
ll M,ans,bx;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
ll k=x;
x=y;
y=k-y*(a/b);
return d;
}
ll multi(ll a,ll b,ll m)
{
ll ret=0;
while(b!=0)
{
if(b&1)
{
ret=(ret+a)%m;
}
a=(a+a)%m;
b>>=1;
}
return ret;
}
ll excrt()
{
ll x,y,k,t;
M=bi[1],ans=ai[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
ll a=M;
ll b=bi[i];
ll c=(ai[i]-ans%b+b)%b;
ll gcd=exgcd(a,b,x,y);
bx=b/gcd;
if(c%gcd!=0)
return -1;
x=multi(x,c/gcd,bx);
ans+=x*M;
M*=bx;
ans=(ans%M+M)%M;
}
return (ans%M+M)%M;
}
int main(void)
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&bi[i],&ai[i]);
}
printf("%lld",excrt());
return 0;
}
今天终于考完颓荐生考试了，考的怎么样还要等到明天才出成绩，所以，本蒟蒻可能就要暂时离开OI的练习了，今天用了一点课余时间统计了一下我的刷题数
从1月9日开始学OI开始 到2020/06/27 我已经刷了597道题了
如果成绩不是很理想的话，可能就要暂别机房了...
近六个月的学习，很快乐很苦也很充实，今天来打个卡，庆祝一下我洛谷刷题破300（虽然水了好多红题qwq）
但愿明天成绩不错....
#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<math.h>#define ll long longusing namespace std;ll n;ll ai[100001],bi[1000001];ll M,ans,bx;ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1,y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,x,y);ll k=x;x=y;y=k-y*(a/b);return d;}ll multi(ll a,ll b,ll m){ll ret=0;while(b!=0){if(b&1) {ret=(ret+a)%m;}a=(a+a)%m;b>>=1;}return ret;}ll excrt(){ll x,y,k,t;M=bi[1],ans=ai[1];for(int i=2;i<=n;i++){ll a=M;ll b=bi[i];ll c=(ai[i]-ans%b+b)%b;ll gcd=exgcd(a,b,x,y);bx=b/gcd;if(c%gcd!=0) return -1;x=multi(x,c/gcd,bx);ans+=x*M;M*=bx;ans=(ans%M+M)%M;}return (ans%M+M)%M;}int main(void){scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&bi[i],&ai[i]);}printf("%lld",excrt());return 0;}
