Harmonic Number (II) LightOJ - 1245

题意

求 n/1+n/2+..n/n$n/1+n/2+..n/n$

分析

求 n/k = t 的k的个数
[nk]>=t$[\frac{n}{k}]>=t$的个数为[nt]$[\frac{n}{t}]$ 个，于是[nk]=t$[\frac{n}{k}]=t$ 的个数就是 [nt]−[nt+1]$[\frac{n}{t}]-[\frac{n}{t+1}]$
证明如下
  n/k>=[n/k]>=t$n/k>=[n/k]>=t$
∵t∗k<=n$\because t\ast k<=n$
∴t<=n/k$\therefore t<=n/k$
又∵t∗[n/t]<=n]$\because t\ast [n/t]<=n]$
于是kmax=[n/t]$k_{max}=[n/t]$
问题得证

参考代码

#include <iostream>//c++IO
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main(void)
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin>>T;
    int Kase = 0;
    while(T--)
    {
        long long  n;
        cin>>n;
        int m = (int)sqrt(n);
        long long  ans = 0;
        for(long long  i = 1;i < m; ++i)
        {
            ans += n/i;
            ans += (long long )i*(n/i - n/(i+1));
        }
        ans += n/m;
        ans += m*(n/m-m);//注意要加上等于n/k = m的情况，但如果k < m 这种情况已经计算过了
        printf("Case %d: %lld\n",++Kase,ans);
    }
    return 0;
}