统计学基础之概率分布

统计学基础之概率分布

 

 

 一、基本概念

1、随机变量

在同一组条件下，如果每次实验可能出现这样那样的结果，并且所有的结果都能列举出来，即X的所有的可能值x₁,x₂,....,x_{n都能列举出来，而且X} 的可能值x1,x2,....,xn具有确定概率P(x1),P(x2),....,P(xn),其中P(x_i)=P(X = x_i),称为概率函数，则X称为P(X)的随机变量，P(X)称为随机变量X的概率函数。

(1)离散型随机变量：如果随机变量的所有取值都可以逐个列举出来，则称为离散型随机变量。

(2)连续型随机变量：如果随机变量的所有取值都无法逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点。

2、古典概率

随机现象所能发生的事件是有限的、互不相容的,而且每个基本事件发生的可能性相等。例如,抛掷一枚平正的硬币,正面朝上与反面朝上是唯一可能出现的两个基本事件,且互不相容。如果我们把出现正面的事件记为E,出现事件E的概率记为p(E),则:

P(E)=1/(1+1)=1/2

一般说来,如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个,不构成事件A的事件有b个,则出现事件A的概率为:

P(A)=a/(a+b)

3、条件概率

条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A，B，那么，

。

4、离散变量

可取值能一个个列出来的变量称为离散变量。设离散变量。事件 的概率称X的概率函数，即

概率函数的对应值表称概率函数表。图像称概率函数图。概率函数及函数表、图。都能反映离散变量与概率的对应关系，统称离散变量的概率分布，实际问题中简称为离散总体。复杂事件 是基本事件的并事件其概率称为离散变量X的累积概率。

5、连续变量

可取值能充满一个区间的变量称为连续变量。其数值是连续不断的，相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值。

6、期望值

即平均值。

7、【大数定律】 

一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。

1、切比雪夫大数定理　　

设   ，....是一列相互独立的随机变量(或者两两不相关)，他们分别存在期望和方差 。若存在常数C使得：则对任意小的正数 ε，满足：

将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

2、伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，

该定律是切比雪夫大数定理的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。

 

3.辛钦大数定律

设为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有

 

 

二、离散变量概率分布

1、二项分布

二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

属性：

每个试验都是独立的。
在试验中只有两个可能的结果：成功或失败。
总共进行了n次相同的试验。
所有试验成功和失败的概率是相同的。

重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。

二项分布公式

如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复实验中发生K次的概率是

P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)

期望：Eξ=np；

方差：Dξ=npq；

其中q=1-p

 

2、泊松分布

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为 

特征函数为

 

泊松分布与二项分布

泊松分布在满足以下条件的情况下是二项式分布的极限情况：

• 试验次数无限大或n → ∞。
• 每个试验成功的概率是相同的，无限小的，或p → 0。
• np = λ，是有限的。

 

3、伯努利分布

伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功的概率。伯努利分布是一个离散型机率分布，是N=1时二项分布的特殊情况

 

随机变量X服从参数为p的伯努利分布，则X的概率函数： 

f(x|p)=px(1−p)1−xx=0或1f(x|p)=px(1−p)1−xx=0或1

均值与方差： 

u=p;var=p∗(1−p)

 

伯努利与二项分布之间的关系：

• 伯努利分布是具有单项试验的二项式分布的特殊情况。

• 伯努利分布和二项式分布只有两种可能的结果，即成功与失败。

• 伯努利分布和二项式分布都具有独立的轨迹。

 

4、beta分布

 

贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。在概率论中，贝塔分布，也称B分布，是指一组定义在  区间的连续概率分布，有两个参数

 

 。

1.概率密度函数

Β分布的概率密度函数是：

其中

  

是Γ函数。随机变量X服从参数为  
的Β分布通常写作

 

三、分布的形状

1、正态分布

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。

定义：若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

（1）如果  且a与b是实数，那么 。

（2）如果  与 是统计独立的正态随机变量，那么：它们的和也满足正态分布

 它们的差也满足正态分布

 

U与V两者是相互独立的。

（3）如果  和

 

是独立常态随机变量，那么：它们的积XY服从概率密度函数为p的分布

 

其中

 

是修正贝塞尔函数。它们的比符合柯西分布，满足

 

（4）如果 为独立标准常态随机变量，那么

 

服从自由度为n的卡方分布。

 

 

2、均匀分布

均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。

均匀分布的概率密度函数为：

 

在两个边界a和b处的f（x）的值通常是不重要的，因为它们不改变任何  的积分值。 概率密度函数有时为0，有时为

  

。 在傅里叶分析的概念中，可以将f（a）或f（b）的值取为

  

，因为这种均匀函数的许多积分变换的逆变换都是函数本身。

 

对于平均值μ和方差  ，概率密度可以写为：

 

若a = 0并且b = 1，所得分布U（0,1）称为标准均匀分布。

标准均匀分布的一个有趣的属性是，如果u1具有标准均匀分布，那么1-u1也是如此。

 

（1）如果X服从标准均匀分布，则通过逆变换方法，

  

具有指数分布参数  。

（2）如果X服从标准均匀分布，则Y = Xn具有参数（1 / n，1）的β分布。

（3）如果X服从标准均匀分布，则Y = X也是具有参数（1,1）的β分布的特殊情况。

（4）两个独立的，均匀分布的总和产生对称的三角分布

 

 

 

 

3、卡方分布

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和  构成一新的随机变量，其卡方分布分布规律称  分布（chi-square distribution），其中参数 称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个  分布。记为  或者 

（其中

 ， 

 

为限制条件数）。

卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 很大时，  分布近似为正态分布。对于任意正整数x， 自由度为

  

的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。

 

 

 

 

 

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纯粹笔记。。。。