高等代数

高等代数

多项式

数域：简单的说就是数域中任意两个数的加减乘除结果属于数域。

一元多项式：只有一个未知数，且未知数的系数为数域p的数，称此多项式为数域p上的一元多项式。

一元多项式的运算：加法交换，加法结合，乘法交换，乘法结合，乘法分配

因式分解：

最大公因式：d(x)是f(x),g(x)的因式，d(x)具有其他公因式为因式（用辗转相除法来求）

 

最大公约数的求法很有用，r2=g-q2r1,r1=f-gq1,so r2=g(q1+q2)-fq2

最后约去r2即可（让r2成为公约数）

 

 

行列式：

性质：

1. 一行的公因子可以提出来

2. 把一行的倍数加到另一行，行列式不变

3. 两行互换，行列式去反号

4. 一行全为零则行列式为零

齐次线性方程组如果有解，则系数矩阵A=0

代数余子式：除去所在行列的行列式的值

 

 

线性方程组：

增广矩阵为零时，方程组有解

未知数数量大于方程组行数时，有解

线性相关：向量组中一个向量可以由其余向量表示出来，称这个向量组线性相关，如果有一个为0的向量，那一定线性相关

,k1和k2和k3不全为零

 

极大线性无关组：几个向量原本线性无关的，但是突然加入一个向量，他们就线性相关了。

秩：极大线性无关组所含向量的个数，称为这个向量的秩。系数矩阵秩=行数时有唯一解。

求法：用guess消元法，然后去掉自由向量就可

 

 

 

矩阵：

运算：相同维数矩阵可相加减，对应元素相加。满足结合律和交换律

       乘法，C=AB,A的行乘以B的列，和放在A行B列，结合律和分配律

转置（沿对角线互换元素）：

(A’)’=A

(A+B)’=A’+B’

(AB)’=A’B’

(kA)’=kA’

逆：AB=BA=E,B称为A的逆

(A^-1)’=(A’)^-1

(AB)^-1=B^-1A^-1

A^-1=A右边和E结合，行操作，让左边变成E,此时右边就是所求值

伴随矩阵：A^*=代数余子式构成的矩阵

  AA^*=A^*A=dE

所以A^-1=A^*/d

矩阵的分块：一定条件下可以快速算矩阵

 

 

 

二次型：

二次型矩阵都是对称的

合同：B=C’AC,称A，B合同

B=C’AC A=(C^-1)’BC^-1

B=C1’AC1  and  C=C2’BC2  so  C=(C1C2)’A(C1C2)

 

 

 

 

 

 

特征向量：