DP优化——四边形不等式（简介）

今天学习了一下四边形不等式，这个东西很早以前就看过，但是始终觉得很难，因为对于题目来说去证明的话总觉得有些麻烦撒～

今早看了看，把由w(i,j)满足四边形不等式能推出ｍ(i,j)也满足四边形不等式的那一部分看明白了。决策单调性（也就是s(i,j)那一部分）没找的好的证明，便记住结论了。

个人感觉黑书上对于四边形不等式的讲解性价比还是比较高的，讲的都是重点，很好。

引用一下：

 当函数w(i,j)满足 w(a,c)+w(b,d) <= w(b,c)+w(a,d) 且a<=b< c <=d 时，我们称w(i,j)满足四边形不等式。。

 

当函数w(i, j)满足w(i', j) <= w(i, j'); i <= i' < j <= j' 时，称w关于关于区间包含关系单

调。

s(i, j)=k是指m(i, j)这个状态的最优决策

 

以上定理的证明自己去查些资料

 

今天看得lrj的书中介绍的 四边形优化  做个笔记，加强理解 

最有代价用d[i,j]表示 
d[i,j]=min{d[i,k-1]+d[k+1,j]}+w[i,j] 
其中w[i,j]=sum[i,j] 
四边形不等式   
     w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+w[a,d](a<b<c<d) 就称其满足凸四边形不等式 
决策单调性 
     w[i,j]<=w[i',j']   ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'

于是有以下三个定理 

定理一： 如果w同时满足四边形不等式 和 决策单调性 ,则d也满足四边形不等式
定理二：当定理一的条件满足时，让d[i,j]取最小值的k为K[i,j]，则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j] 
定理三：w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1] 

由定理三知 判断w是否为凸即判断 w[i,j+1]-w[i,j]的值随着i的增加是否递减 
于是求K值的时候K[i,j]只和K[i+1,j] 和 K[i,j-1]有关，所以 可以以i-j递增为顺序递推各个状态值最终求得结果  将O(n^3)转为O(n^2) 

 

 

 

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