贪心算法问题

贪心算法的适用的问题

贪心算法适用的问题必须满足两个属性：

    （１）   贪心性质：整体的最优解可通过一系列局部最优解达到，并且每次的选择可以依赖以前做出的选择，但不能依赖于以后的选择。

    （２）   最优子结构：问题的整体最优解包含着它的子问题的最优解。

    贪心算法的基本步骤

    （１）   分解：将原问题分解为若干相互独立的阶段。

    （２）   解决：对于每一个阶段求局部的最优解。

    （３）   合并：将各个阶段的解合并为原问题的解。

适用范围：

　　贪心算法并不能总求得问题的整体最优解。但对于某些问题，却总能求得整体最优解，这要看问题时什么了。只要能满足贪心算法的两个性质：贪心选择性质和最优子结构性质，贪心算法就可以出色地求出问题的整体最优解。即使某些问题，贪心算法不能求得整体的最优解，贪心算法也能求出大概的整体最优解。如果你的要求不是太高，贪心算法是一个很好的选择。最优子结构性质是比较容易看出来的，但是贪心选择性质就没那么容易了，这个时候需要证明。证明往往使用数学归纳法。

一、贪心算法之汽车加油问题

（一） 问题描述

 　　　一辆汽车加满油后可以行驶N千米。旅途中有若干个加油站。指出若要使沿途的加油次数最少，设计一个有效的算法，指出应在那些加油站停靠加油。 给出N，并以数组的形式给出加油站的个数及相邻距离，指出若要使沿途的加油次数最少，设计一个有效的算法，指出应在那些加油站停靠加油。要求：算法执行的速度越快越好。

（二） 问题分析（前提行驶前车里加满油）

　　

 对于这个问题我们有以下几种情况：设加油次数为k，每个加油站间距离为a[i]；i=0，1，2，3……n

    1.始点到终点的距离小于Ｎ，则加油次数k=0；

    2.始点到终点的距离大于N，

    A  加油站间的距离相等，即ａ[i]=a[j]=L=N，则加油次数最少k=n；

    B  加油站间的距离相等，即ａ[i]=a[j]=L>N，则不可能到达终点；

    C  加油站间的距离相等，即ａ[i]=a[j]=L<N，则加油次数k=n/N(n%N==0)或k=[n/N]+1(n%N！=0)；

    D  加油站间的距离不相等，即ａ[i]！=a[j]，则加油次数k通过以下算法求解。

（三）算法描述

　　

贪心算法的基本思想

    该题目求加油最少次数，即求最优解的问题，可分成几个步骤，一般来说，每个步骤的最优解不一定是整个问题的最优解，然而对于有些问题，局部贪心可以得到全局的最优解。贪心算法将问题的求解过程看作是一系列选择，从问题的某一个初始解出发，向给定目标推进。推进的每一阶段不是依据某一个固定的递推式，而是在每一个阶段都看上去是一个最优的决策（在一定的标准下）。不断地将问题实例归纳为更小的相似的子问题，并期望做出的局部最优的选择产生一个全局得最优解。

    [问题分析]

    由于汽车是由始向终点方向开的,我们最大的麻烦就是不知道在哪个加油站加油,可以使我们既可以到达终点又可以使我们加油次数最少。 提出问题是解决的开始.为了着手解决遇到的困难,取得最优方案。我们可以假设不到万不得已我们不加油，即除非我们油箱里的油不足以开到下一个加油站，我们才加一次油。在局部找到一个最优的解。却每加一次油我们可以看作是一个新的起点，用相同的递归方法进行下去。最终将各个阶段的最优解合并为原问题的解得到我们原问题的求解。

二、背包问题

有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

物品 A  B  C D E F G

重量 35  30  60  50  40  10  25 

价值  10  40  30 50  35  40  30

分析如下

目标函数： ∑pi最大

约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M( M=150)。

（1）根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？

（2）每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？

（3）每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。

值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。

可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。

一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。

对于背包问题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：

贪心策略：选取价值最大者。反例：

W=30

物品：A  B  C

重量：28 12 12

价值：30 20 20

根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。

（2）贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。

（3）贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。反例：

W=30

物品：A  B  C

重量：28 20 10

价值：28 20 10

根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。

所以需要说明的是，贪心算法可以与随机化算法一起使用，具体的例子就不再多举了。（因为这一类算法普及性不高，而且技术含量是非常高的，需要通过一些反例确定随机的对象是什么，随机程度如何，但也是不能保证完全正确，只能是极大的几率正确）