洛谷P2158 [SDOI2008]仪仗队

题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。  现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

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共一个数N

 

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共一个数，即C君应看到的学生人数。

 

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说明

【数据规模和约定】

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

 

有一个比较显然的结论，如果我们把教练所在的点看做坐标原点，建立坐标系

那么一个点$(i,j)$能被看到，当且仅当$gcd(i,j)=1$。否则会被$\dfrac {i}{\gcd \left( i,j\right) },\dfrac {j}{\gcd \left( i,j\right) }$这个点挡住

对于$x,y$轴，我们特殊判断一下

这样问题就转化为求$\sum ^{n-1}_{i=1}\sum ^{n-1}_{i=1}\left[ \gcd \left( i,j\right) =1\right]$

这是一个非常经典的问题

我们不妨假设$i<j$，那么上面的公式就是$2*\sum ^{n-1}_{i=1}\varphi \left( i\right)-1$（最后的-1可以理解为(1,1)这个点被重复计算了）

最后再加上$i=0,j=0$的两个点

 

#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
int prime[MAXN],phi[MAXN],vis[MAXN],tot=0;
int main(){
    int N;
    scanf("%d",&N);N=N-1;
    if(N==0) {printf("0");return 0;}
    phi[1]=1;
    for (int i=2; i <= N ;i++)
    {
        if (!vis[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1; j<=tot && i*prime[j]<=N ;j++) 
        {
            vis[ i*prime[j] ]=1;
            if(i%prime[j]) phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1);
            else {phi[ i*prime[j] ] =phi[i] * prime[j];break;}
        }
    }
    for(int i=1; i <= N; i++)
        phi[i]=phi[i]+phi[i-1];
    printf("%d",phi[N]*2+1);
    return 0;
}