codeforces 340B Maximal Area Quadrilateral(叉积)
事实再一次证明:本小菜在计算几何上就是个渣= =
题意:平面上n个点(n<=300),问任意四个点组成的四边形(保证四条边不相交)的最大面积是多少。
分析:
1、第一思路是枚举四个点,以O(n4)的算法妥妥超时。
2、以下思路源自官方题解
以O(n2)枚举每一条边,以这条边作为四边形的对角线(注意:这里所说的对角线是指把四边形分成两部分的线,不考虑凹四边形可能出现的两个点在对角线同一侧的情况),以O(n)枚举每一个点,判断是在对角线所在直线的左侧还是右侧。因为被对角线分割开的两三角形不相关,所以可以单独讨论:分别找出左右两侧的最大三角形,二者之和即为此边对应的最大四边形。整个算法为O(n3)。
3、何为叉积?
百度百科“叉积”解释的很详细,这里用到两条:
一、axb 表示的是一个符合右手法则的、垂直于a、b的向量c,|c|=|a|*|b|*sinθ,θ指向量a,b的夹角,即|c|是以a、b为边的平行四边形的面积——已知3点A,B,C,|BAxCA|==S(三角形ABC)*2。
二、坐标表示法中,a(x1,y1),b(x2,y2)。c=axb=x1*y2-x2*y1,c的正负表示方向,正为上、负为下。而在三维中,方向不能简单的以正负表示,所以只能以一个向量的形式来描述:
| i , j , k |
|x1,y1,z1|
|x2,y2,z2| i,j,k分别表示x轴、y轴、z轴上的单位向量,矩阵的解也就是c=axb。
这里只是二维平面,判断点在向量所在直线的哪一侧,就可以利用叉积的方向来区别。对角线AB,两侧各取一点C、D,必然有CAxCB=-DAxDB。
注意:一开始不知道叉积的模即是三角形面积的两倍,就用axb=|a|*|b|*cosθ推S=|a|*|b|*sinθ,跑到第八组数据就超时了,纠结了好久,后来发现,原来每个三角形是在O(n3)的复杂度下求解的,多算一步就多一个O(n3),TLE的不冤T^T
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1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 6 using namespace std; 7 8 const int MAXN=333; 9 const double eps=1e-10; 10 11 struct Point{ 12 double x,y; 13 Point(double _x=0,double _y=0):x(_x),y(_y){} 14 }p[MAXN]; 15 16 typedef Point Vector; 17 18 Vector operator - (Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);} 19 20 double cross(Vector a,Vector b) 21 { 22 return (a.x*b.y-a.y*b.x)*0.5; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 int n; 28 scanf("%d",&n); 29 rep(i,1,n){ 30 scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); 31 } 32 double ans=0; 33 rep(i,1,n){ 34 rep(j,i+1,n){ 35 double lmax,rmax; 36 lmax=rmax=0; 37 rep(k,1,n){ 38 if(k==i||k==j) 39 continue; 40 double s=cross(p[i]-p[k],p[j]-p[k]); 41 if(s<eps) 42 lmax=max(lmax,-s); 43 else 44 rmax=max(rmax,s); 45 } 46 if(lmax==0||rmax==0) 47 continue; 48 ans=max(ans,lmax+rmax); 49 } 50 } 51 printf("%f\n",ans); 52 return 0; 53 }