【codeforces 914H】Ember and Storm's Tree Game

原题链接

Description

Ember和Storm正在玩游戏。首先，Ember构造一棵n个节点且每个节点度数不超过d的带节点编号的树T。然后，Storm选择两个不同的节点u和v，并写下从u到v路径上的节点编号，记为序列 a₁, a₂... a_k 。最后，Ember在序列中选择一个位置 i(1 ≤ i < k)，并在以下两个操作选择一个执行：

• 翻转 a_i+1... a_k 并将这一段加上a_i，操作后序列变为 a₁, ... a_i, a_k + a_i, a_k-1 + a_i, ... a_i+1 + a_i
• 取负 a_i+1... a_k 并将这一段加上a_i，操作后序列变为 a₁, ... a_i,  - a_i+1 + a_i,  - a_i+2+ a_i, ... - a_k + a_i

如果最后的序列是严格单调的，则Ember获胜，否则Storm获胜。

游戏情形可以用一个元组 (T, u, v, i, op) 来描述，op为翻转或是取负取决于Ember的决策。若Ember和Storm都使用最优策略（若有多种必胜策略，任选一种执行；若必败，也任选一种执行），试统计所有可能的游戏情形的数量，并输出其取模m的结果。

Input

仅一行，给出 n,d,m。 (2 ≤ n ≤ 200, 1 ≤ d < n, 1 ≤ m ≤ 2·10⁹).

Output

输出一个数字——所有可能的游戏情形的数量取模m之后的结果。

 

首先，Ember一定会构造出一棵能让自己必胜的树。而Ember获胜当而仅当原序列$a$为单调的或是单峰的；且对于每一个合法的序列，有2种合法的$(i，op)$的组合。没有什么好证明的……在草稿纸上自己模拟一下两种操作就可以得到了。

问题转换为：统计满足以下条件的树的数量$S$：1. 包含$n$个节点，2. 每个节点度数不超过$d$，3. 树上任意两个节点间路径的编号序列为单调的或单峰的。最终答案为 $2\cdot n\cdot(n-1)\cdot S$ 。

而对于一棵合法的树，一定存在一个特殊点，满足以这个节点为起点或终点的所有路径都是单调的。为了方便统计，我们令合法树的根节点为特殊点。观察可得，对于一棵合法树，除根节点以外的子树都满足：父亲节点编号大于儿子编号，或是父亲编号小于儿子编号。所以我们只需要统计这两种情况的答案，然后在根节点处拼起来即可。而实际上，这两种情况是等价的。

令$f(i,j)$表示节点数为$i$，根节点度数为$j$，且父亲编号小于儿子编号的方案数。

枚举当前要拼接的子树大小$k$，钦定根节点编号最小，拼接过来的子树的根节点编号次小，可得到以下递推公式：

$$f(i,j)=\sum _{k=1}^{i-1}f(i-k,j-1)\cdot \binom{i-2}{k-1}\cdot \sum _{l=1}^{d-1}f(k,l)$$

令 $sum(i)=\sum _{j=1}^{d-1}f(i,j)$，可得：

$$f(i,j)=\sum _{k=1}^{i-1}f(i-k,j-1)\cdot \binom{i-2}{k-1}\cdot sum(k)$$

时间复杂度为 $O(n^{3})$ ，初始化 $f(1,0)=sum(1)=1$ 。

（这种方法是在评论区看到的……然后参考了一下wxh大爷的博客。官方题解给了另一种统计f数组的方式，要稍微复杂一些，以及因为不保证m是质数，会有一些细节需要处理。详见官方题解，细节处理详见评论区。）

统计出$f$数组后就可以开始拼接了，枚举满足父亲节点编号小于儿子编号的点数$i$、度数$j$, 满足父亲节点编号大于儿子编号的度数$k$，可得到以下公式：

$$S=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{d}\sum _{k=0}^{d-j}f(i+1,j)\cdot f(n-i,k)$$

而实际上一棵合法树是可以有多个合法根的，比如最简单的$n=2$的情况，合法根既可以是$1$也可以是$2$。我们可以得出另一个结论，如果一棵树有多个合法根，那么这些点一定构成一条单调链，一端是$j=1$且$k≠1$，另一端是$j≠1$且$k=1$，中间是$j=1$且$k=1$，我们把这棵树放在第一种情况统计。

得到最终公式：

$$S=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j+k\leq d,k\neq 1}f(i+1,j)\cdot f(n-i,k)$$

代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=205;
int n,d,mod;
LL ans,sum[N],c[N][N],f[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&d,&mod);
    for(int i=0;i<=n;i++)c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    sum[1]=1;f[1][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=d;j++)
            for(int k=1;k<i;k++)
                f[i][j]=(f[i][j]+f[i-k][j-1]*sum[k]%mod*c[i-2][k-1]%mod)%mod;
        for(int j=1;j<=d-1;j++)
            sum[i]=(sum[i]+f[i][j])%mod;
    }
    for(int i=0;i<=n-1;i++)
        for(int j=0;j<=d;j++)
            for(int k=0;j+k<=d;k++)
                if(k!=1)ans=(ans+f[i+1][j]*f[n-i][k]%mod)%mod;
    printf("%lld",2*n*(n-1)*ans%mod);
    return 0;
}