主席树套树状数组——带修区间第k大zoj2112
主席树带修第k大
https://www.cnblogs.com/Empress/p/4659824.html 讲的非常好的博客
首先按静态第k大建立起一组权值线段树(主席树) 然后现在要将第i个值从a改为b， 由主席树前缀和的性质可知修改第i个值会对T[i]...T[n]棵权值线段树造成相同的影响 如果暴力进行维护必定超时 那么如何优化这种修改？ 我们知道动态维护前缀和可以用bit在log时间内完成 那么对于动态维护具有前缀和性质的主席树，我们也可以套上bit来完成 update：将第i个值从a改成b 根据bit的原理，第i个元素的修改会影响第i+lowbit(i)个元素 那么现在第i棵树修改了，第i+lowbit(i)棵树也应该影响 即第i棵树的位置a -1，同样的第i+lowbit(i)棵树的位置a -1 同理这批树的位置b +1即可 query：询问区间[l,r]第k大元素 即求T[r]-T[l]的前缀和即可 查询时要把bit对应的修改套上
一些实现上的细节
按照静态主席树建立 T[1-n]
用相同结构的树状数组 S[1-n]来维护 T[1-n]
S[i]表示一棵权值线段树的根节点
update:修改位置i，必然要修改S[i],那么S[i+lowbit i]也要修改
query [l,r]:转化成前缀和问题，静态的初始主席树 T[r]-T[l-1], 再加上树状数组中修改的量 S[r]-S[l-1]，
由于需要到子树里更新或查询，开一个数组use[i]表示第i棵树状数组当前在哪个子树更新或查询
我写的不知道为什么在zoj会段错误。。
在洛谷上就能过。。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 600005 inline int low(int x){return x&(-x);} struct Q{char op[2];int l,r,k;}op[maxn]; int n,a[maxn],m,tot,b[maxn],q; struct Node{int lc,rc,sum;}T[maxn*50]; int rt[maxn],S[maxn],use[maxn],size; int build(int l,int r){ int now=++size; if(l==r)return now; int mid=l+r>>1; T[now].lc=build(l,mid); T[now].rc=build(mid+1,r); return now; } int update(int last,int pos,int v,int l,int r){ int now=++size; T[now]=T[last];T[now].sum+=v; if(l==r)return now; int mid=l+r>>1; if(pos<=mid)T[now].lc=update(T[last].lc,pos,v,l,mid); else T[now].rc=update(T[last].rc,pos,v,mid+1,r); return now; } int Sum(int x){//查询前x棵树的修改值 int res=0; while(x){ res+=T[T[use[x]].lc].sum; x-=low(x); } return res; } void Update(int x,int pos,int v){ while(x<=n){ S[x]=update(S[x],pos,v,1,m); x+=low(x); } } int query(int L,int R,int st,int ed,int l,int r,int k){ if(l==r)return l; int mid=l+r>>1; int sum=Sum(R)-Sum(L)+T[T[ed].lc].sum-T[T[st].lc].sum; if(k<=sum){ for(int i=L;i;i-=low(i)) use[i]=T[use[i]].lc; for(int i=R;i;i-=low(i)) use[i]=T[use[i]].lc; return query(L, R, T[st].lc, T[ed].lc,l,mid,k); } else { for(int i=L;i;i-=low(i)) use[i]=T[use[i]].rc; for(int i=R;i;i-=low(i)) use[i]=T[use[i]].rc; return query(L, R, T[st].rc, T[ed].rc,mid+1,r, k-sum); } } void init(){ m=tot=size=0;memset(rt,0,sizeof rt); memset(S,0,sizeof S); } int main(){ { init(); scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),b[++tot]=a[i]; for(int i=1;i<=q;i++){ scanf("%s",op[i].op); if(op[i].op[0]=='Q')scanf("%d%d%d",&op[i].l,&op[i].r,&op[i].k); else { scanf("%d%d",&op[i].l,&op[i].r); b[++tot]=op[i].r; } } sort(b+1,b+1+tot);//离散化 m=unique(b+1,b+1+tot)-(b+1); rt[0]=build(1,m); for(int i=1;i<=n;i++){//建立静态主席树 int pos=lower_bound(b+1,b+1+m,a[i])-b; rt[i]=update(rt[i-1],pos,1,1,m); S[i]=rt[0]; } for(int i=1;i<=q;i++){ int l=op[i].l,r=op[i].r,k=op[i].k; if(op[i].op[0]=='Q'){//查询,准备好要用到的线段树 for(int j=l-1;j;j-=low(j))use[j]=S[j]; for(int j=r;j;j-=low(j))use[j]=S[j]; cout<<b[query(l-1,r,rt[l-1],rt[r],1,m,k)]<<'\n'; } else { int pos1=lower_bound(b+1,b+1+m,a[l])-b; int pos2=lower_bound(b+1,b+1+m,r)-b; Update(l,pos1,-1);Update(l,pos2,1); a[l]=r; } } } }
下面是一份模板。。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; #define lson l, m #define rson m+1, r const int N=60005; int a[N], Hash[N]; int T[N], L[N<<5], R[N<<5], sum[N<<5]; int S[N]; int n, m, tot; struct node { int l, r, k; bool Q; }op[10005]; int build(int l, int r) { int rt=(++tot); sum[rt]=0; if(l!=r) { int m=(l+r)>>1; L[rt]=build(lson); R[rt]=build(rson); } return rt; } int update(int pre, int l, int r, int x, int val) { int rt=(++tot); L[rt]=L[pre], R[rt]=R[pre], sum[rt]=sum[pre]+val; if(l<r) { int m=(l+r)>>1; if(x<=m) L[rt]=update(L[pre], lson, x, val); else R[rt]=update(R[pre], rson, x, val); } return rt; } int lowbit(int x) { return x&(-x); } int use[N]; void add(int x, int pos, int val) { while(x<=n) { S[x]=update(S[x], 1, m, pos, val); x+=lowbit(x); } } int Sum(int x) { int ret=0; while(x>0) { ret+=sum[L[use[x]]]; x-=lowbit(x); } return ret; } int query(int u, int v, int lr, int rr, int l, int r, int k) { if(l>=r) return l; int m=(l+r)>>1; int tmp=Sum(v)-Sum(u)+sum[L[rr]]-sum[L[lr]]; if(tmp>=k) { for(int i=u;i;i-=lowbit(i)) use[i]=L[use[i]]; for(int i=v;i;i-=lowbit(i)) use[i]=L[use[i]]; return query(u, v, L[lr], L[rr], lson, k); } else { for(int i=u;i;i-=lowbit(i)) use[i]=R[use[i]]; for(int i=v;i;i-=lowbit(i)) use[i]=R[use[i]]; return query(u, v, R[lr], R[rr], rson, k-tmp); } } void modify(int x, int p, int d) { while(x<=n) { S[x]=update(S[x], 1, m, p, d); x+=lowbit(x); } } int main() { int t; scanf("%d", &t); while(t--) { int q; scanf("%d%d", &n, &q); tot=0; m=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d", &a[i]); Hash[++m]=a[i]; } for(int i=0;i<q;i++) { char s[10]; scanf("%s", s); if(s[0]=='Q') { scanf("%d%d%d", &op[i].l, &op[i].r, &op[i].k); op[i].Q=1; } else { scanf("%d%d", &op[i].l, &op[i].r); op[i].Q=0; Hash[++m]=op[i].r; } } sort(Hash+1, Hash+1+m); int mm=unique(Hash+1, Hash+1+m)-Hash-1; m=mm; T[0]=build(1, m); for(int i=1;i<=n;i++) T[i]=update(T[i-1], 1, m, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, a[i])-Hash, 1); for(int i=1;i<=n;i++) S[i]=T[0]; for(int i=0;i<q;i++) { if(op[i].Q) { for(int j=op[i].l-1;j;j-=lowbit(j)) use[j]=S[j]; for(int j=op[i].r;j;j-=lowbit(j)) use[j]=S[j]; printf("%d\n", Hash[query(op[i].l-1, op[i].r, T[op[i].l-1], T[op[i].r], 1, m, op[i].k)]); } else { modify(op[i].l, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, a[op[i].l])-Hash, -1); modify(op[i].l, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, op[i].r)-Hash, 1); a[op[i].l]=op[i].r; } } } return 0; }
