树状数组总结
最近做了近20道树状数组题目，发现有点痴迷于它了，这个数据结构真是太优美了，小巧又强悍，编程复杂度极其低，大爱呀！
先丢上模板
lowbit操作:
int lowbit(int x) { return x&-x; }
add操作：
void add(int x,int d) { while(x<=n) { c[x]+=d; x+=lowbit(x); } }
Query操作:
int sum(int x) { long ret=0; while(x>0) { ret+=c[x]; x-=lowbit(x); } return ret; }
运用树状数组我们可以解决一下几类问题：
一、单点修改，区间查询
这是树状数组最基本的操作
一维：
POJ - Ultra-QuickSort（求逆序数）
SGU180 - Inversions（求逆序数，需要离散)
POJ2352 – Stars(下标必须从1开始）
二维：
add操作：
void add(int x,int y,int d) { int i,j; for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) for(j=y;j<=n;j+=lowbit(j)) c[i][j]+=d; }
Query操作：
int sum(int x,int y) { int i,j,ret=0; for(i=x;i>0;i-=lowbit(i)) for(j=y;j>0;j-=lowbit(j)) ret+=c[i][j]; return ret; }
题目：
此题当模板还是非常好
题目大意
给定一个N*N的网格，刚开始每个网格的值都是0，接下来会对这些网格进行操作，有一下两种操作：
1、”X Y A“对网格C[x][y]增加A
2、”L B R T“ 查询所有(L<=X<=R,B<=Y<=T)的网格C[X[Y]，并返回它们的总和
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #define MAXN 1050 using namespace std; int c[MAXN][MAXN]; int n; int lowbit(int x) { return x&-x; } int sum(int x,int y) { int i,j,ret=0; for(i=x;i>0;i-=lowbit(i)) for(j=y;j>0;j-=lowbit(j)) ret+=c[i][j]; return ret; } void add(int x,int y,int d) { int i,j; for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) for(j=y;j<=n;j+=lowbit(j)) c[i][j]+=d; } int main(void) { int a,j,lb,x1,y1,x2,y2,ans; while(cin>>a>>n) { memset(c,0,sizeof(c)); while(scanf("%d",&lb)==1&&lb!=3) { if(lb==2) { ans=0; scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2); x1++; y1++; x2++; y2++; ans+=sum(x2,y2); ans-=sum(x1-1,y2); ans-=sum(x2,y1-1); ans+=sum(x1-1,y1-1); printf("%d\n",ans); } else { scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&j); x1++; y1++; add(x1,y1,j); } } } return 0; }
二、单点查询，区间修改
一维：
HDU1556 - Color the ball
可以当模板
题目大意
给定区间[1,N]，初始时区间的每个数都是0，对其进行多次操作，每次给出两个数a和b，要求你对在区间[a,b]的数全部加1，在操作结束后输出每个数的值
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #define MAXN 100005 using namespace std; int c[MAXN]; int n; int lowbit(int x) { return x&-x; } void add(int x,int d) { while(x<=n) { c[x]+=d; x+=lowbit(x); } } int sum(int x) { int ret=0; while(x>0) { ret+=c[x]; x-=lowbit(x); } return ret; } int main(void) { int i,j,l,r; while(scanf("%d",&n)==1&&n) { memset(c,0,sizeof(c)); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d",&l,&r); add(l,1); add(r+1,-1); } for(i=1;i<n;i++) printf("%d ",sum(i)); printf("%d\n",sum(i)); } return 0; }
二维：
POJ2155 – Matrix
题目大意
给定一个大小为N*N的矩阵，每个元素要么为0要么为1，刚开始时A[i][j]=0,(1<=i,j<=N)
每次给出矩阵的左下角坐标(x1,y1)和右上坐标(x2,y2)，将矩阵中的所有数组取反，或者给出一个坐标(x,y)，要求你查询A[x][y]的值是多少。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define MAXN 1005 using namespace std; int c[MAXN][MAXN]; int n; int lowbit(int x) { return x&-x; } int sum(int x,int y) { int i,j,ret=0; for(i=x;i>0;i-=lowbit(i)) for(j=y;j>0;j-=lowbit(j)) ret+=c[i][j]; return ret; } void add(int x,int y,int d) { int i,j; for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) for(j=y;j<=n;j+=lowbit(j)) c[i][j]+=d; } int main(void) { char ch; int m,T,x1,y1,x2,y2,ans; cin>>T; while(T--) { scanf("%d%d",&n,&m); memset(c,0,sizeof(c)); while(m--) { getchar(); scanf("%c",&ch); if(ch=='C') { scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2); add(x1,y1,1); add(x2+1,y1,1); add(x1,y2+1,1); add(x2+1,y2+1,1); } else { scanf("%d%d",&x1,&y1); ans=sum(x1,y1)&1; printf("%d\n",ans); } } printf("\n"); } return 0; }
三维：
HDU3584 – Cube
题目大意
给定一个体积为N*N*N立方体，每个单位小立方体A[x][y][z]里有一个值,初始值全部为0，我们可以对立方体进行一下两种操作：
1、查询A[x][y][z]的奇偶性
2、对子立方体的每个元素的值进行增减
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define MAXN 105 using namespace std; int c[MAXN][MAXN][MAXN]; int n; int lowbit(int x) { return x&-x; } void add(int x,int y,int z) { int i,j,k; for(i=x;i<MAXN;i+=lowbit(i)) for(j=y;j<MAXN;j+=lowbit(j)) for(k=z;k<MAXN;k+=lowbit(k)) c[i][j][k]++; } int sum(int x,int y,int z) { int i,j,k,ret=0; for(i=x;i>0;i-=lowbit(i)) for(j=y;j>0;j-=lowbit(j)) for(k=z;k>0;k-=lowbit(k)) ret+=c[i][j][k]; return ret; } int main() { int x1,x2,y1,y2,z1,z2,i,m,t; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { memset(c,0,sizeof(c)); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&t); if(t) { scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&z1,&x2,&y2,&z2); add(x1,y1,z1); add(x2+1,y1,z1); add(x1,y2+1,z1); add(x1,y1,z2+1); add(x2+1,y2+1,z1); add(x2+1,y1,z2+1); add(x1,y2+1,z2+1); add(x2+1,y2+1,z2+1); } else { scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&z1); printf("%d\n",sum(x1,y1,z1)&1); } } } return 0; }
三、区间修改，区间查询
一维：
POJ3468 - A Simple Problem with Integers
题目大意
给定N个整数，A1,A2,A3…An。可以对这些数进行一下两种操作：
1、"C a b c" 对区间[a,b]内的所有数都加上c
2、"Q a b"询问区间[a,b]的和
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #define MAXN 100005 long long a[MAXN],c[MAXN],b[MAXN]; int n,m; using namespace std; int lowbit(int x) { return x&-x; } void add(long long a[],int x,int d) { while(x<=n) { a[x]+=d; x+=lowbit(x); } } long long sum(long long a[],int x) { long long ret=0; while(x>0) { ret+=a[x]; x-=lowbit(x); } return ret; } int main(void) { int i,l,r,d; long long ans; char ch; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { memset(c,0,sizeof(c)); memset(b,0,sizeof(b)); a[0]=0; for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%lld",&a[i]); a[i]+=a[i-1]; } for(i=1; i<=m; i++) { getchar(); scanf("%c",&ch); if(ch=='C') { scanf("%d%d%d",&l,&r,&d); add(b,l,d); add(b,r+1,-d); add(c,l,d*l); add(c,r+1,-(r+1)*d); } else { scanf("%d%d",&l,&r); ans=a[r]-a[l-1]+(r+1)*sum(b,r)-l*(sum(b,l-1))-sum(c,r)+sum(c,l-1); printf("%lld\n",ans); } } } return 0; }
二维：
tyvj1716有裸题，不过现在上不去，所以没做，直接搬运wyl8899的总结好了，方便以后打印出来当模板
【题目大意】
第一分钟，X说，要有矩阵，于是便有了一个里面写满了0的n×m矩阵。
第二分钟，L说，要能修改，于是便有了将左上角为(a,b)，右下角为(c,d)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。
第三分钟，k说，要能查询，于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。
第四分钟，彩虹喵说，要基于二叉树的数据结构，于是便有了数据范围。
第五分钟，和雪说，要有耐心，于是便有了时间限制。
第六分钟，吃钢琴男说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。
第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”
——《上帝造裸题的七分钟》
所以这个神圣的任务就交给你了。
【输入格式】
输入数据的第一行为X n m，代表矩阵大小为n×m。
从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作：
L a b c d delta —— 代表将(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。
k a b c d —— 代表求(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内所有数字的和。
请注意，k为小写。
【输出格式】
针对每个k操作，在单独的一行输出答案。
【样例输入】
X 4 4
L 1 1 3 3 2
L 2 2 4 4 1
k 2 2 3 3
【样例输出】
12
wyl8899大神的总结：
接下来到二维树状数组。
先看看sum和update变成什么样子了吧。
inline int gs(int a[maxn][maxn],int x,int y){ int s=0,t; for(;x;x-=lowbit(x)) for(t=y;t;t-=lowbit(t)) s+=a[x][t]; return s; } inline void gp(int a[maxn][maxn],int x,int y,int w){ int t; for(;x<=n;x+=lowbit(x)) for(t=y;t<=m;t+=lowbit(t)) a[x][t]+=w; }
gs就是sum，gp就是update，由于需要多次调用，所以改了个短一点的名字。
单点加减，矩形求和并不难，直接用上面的两段就行了。
需要注意的是矩形的求和怎么求。上面的代码返回的是(1,1)-(x,y)矩形的和。
那么(x1,y1)-(x2,y2)的矩形和由下式给出：
sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1)
画个图就很好理解了。
对于涉及矩形加减的情形，我们发现一维中的差分的办法在二维的情况用不出来，所以要改一下。
思考一下一维中的差分的另外一个含义：d[i]同时也表示d[i..n]的整体增量，d[i]+=k就意味着把d[i]..d[n]全部加上了k。
理解了之后就发现这个意义上可以推广到二维，假设原矩形初始全为0，以便接下来的叙述。
令a[x,y]表示(x,y)-(n,m)矩形的整体增量，其中(n,m)是边界。
那么(x1,y1)-(x2,y2)矩形整体加k的代码就是
gp(a,x1,y1,w); gp(a,x2+1,y1,-w);gp(a,x1,y2+1,-w); gp(a,x2+1,y2+1,w);
仍然是建议画个图来帮助理解。
至此，矩形加减，单点查询的问题得到了解决。
重头戏在这里，矩形加减，矩形求和。
求原矩形(1,1)-(x,y)的和，结果由下式给出
∑(i=1..x,j=1..y) a[i,j]*(x-i+1)*(y-j+1)
很好理解吧? 但是这个式子并不是那么容易求和的，展开一下求和的部分得到
a[i,j]* ( (x+1)(y+1) - (x+1)*j - (y+1)*x + i*j )
整个式子就是
(x+1)(y+1)∑(a[i,j]) - (x+1)∑(a[i,j]*j) - (y+1)∑(a[i,j]*i) + ∑(a[i,j]*i*j)
知道怎么处理了没，如果没有请回去理解一维的处理方法。
令b[i,j]=a[i,j]*i c[i,j]=a[i,j]*j d[i,j]=a[i,j]*i*j
维护a,b,c,d一共四个二维树状数组，圆满地完成了任务。
tyvj p1716就是实现这两个功能的裸题，下面给出完整代码。
#include<cstdio> #include<cstring> #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) const int maxn=2049; int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn][maxn],d[maxn][maxn]; int n,m; inline int gs(int a[maxn][maxn],int x,int y){ int s=0,t; for(;x;x-=lowbit(x)) for(t=y;t;t-=lowbit(t)) s+=a[x][t]; return s; } inline void gp(int a[maxn][maxn],int x,int y,int w){ int t; for(;x<=n;x+=lowbit(x)) for(t=y;t<=m;t+=lowbit(t)) a[x][t]+=w; } inline int sum(int x,int y){ return (x+1)*(y+1)*gs(a,x,y)-(y+1)*gs(b,x,y)-(x+1)*gs(c,x,y)+gs(d,x,y); } inline void update(int x1,int y1,int x2,int y2,int w){ gp(a,x1,y1,w); gp(a,x2+1,y1,-w); gp(a,x1,y2+1,-w); gp(a,x2+1,y2+1,w); gp(b,x1,y1,w*x1); gp(b,x2+1,y1,-w*(x2+1)); gp(b,x1,y2+1,-w*x1); gp(b,x2+1,y2+1,w*(x2+1)); gp(c,x1,y1,w*y1); gp(c,x2+1,y1,-w*y1); gp(c,x1,y2+1,-w*(y2+1)); gp(c,x2+1,y2+1,w*(y2+1)); gp(d,x1,y1,w*x1*y1); gp(d,x2+1,y1,-w*(x2+1)*y1); gp(d,x1,y2+1,-w*x1*(y2+1)); gp(d,x2+1,y2+1,w*(x2+1)*(y2+1)); } int main(){ int x1,y1,x2,y2,w; char ch; scanf("%c",&ch); while(ch!='X')scanf("%c",&ch); scanf("%d%d\n",&n,&m); memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); memset(c,0,sizeof(c)); memset(d,0,sizeof(d)); while(scanf("%c",&ch)!=EOF){ scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2); if(ch=='L'){ scanf("%d\n",&w); update(x1,y1,x2,y2,w); }else{ scanf("\n"); printf("%d\n",sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1)); } } return 0; }
