●HDU 1695 GCD

题链：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

题解：

容斥。

莫比乌斯反演,入门题。

 

问题化简：求满足x∈(1~n)和y∈(1~m),且gcd(x,y)=1的(x,y)的对数。

下文默认$n \leq m$

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1.容斥

（先写了一个的裸的容斥。）

令$f(k)为gcd(x,y)=\lambda k的(x,y)的对数$

$ANS=f(0种质数的积)-f(1种质数的积)+f(2种质数的积)-\cdots+(-1)^mf(m种质数的积)$

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 100500
using namespace std;
bool np[MAXN],can[MAXN];
int T[MAXN];
void Prime_Sieve(){
	static int prime[MAXN],pnt;
	for(int i=2;i<=100000;i++){
		if(!np[i]) prime[++pnt]=i,T[i]=1,can[i]=1;
		for(int j=1;j<=pnt&&i<=100000/prime[j];j++){
			np[prime[j]*i]=1; 
			T[prime[j]*i]=T[i]+(i%prime[j]!=0);
			can[prime[j]*i]=can[i]&&(i%prime[j]!=0);
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
long long work(int b,int d){
	long long ret=1ll*b*d,tmp;
	for(int i=2;i<=b;i++) if(can[i]){
		tmp=(T[i]&1?-1:1)*1ll*(b/i)*(d/i);
		ret+=tmp;
	}
	return ret;
}
int main(){
	Prime_Sieve(); int a,b,c,d,k,Case; long long ans;
	//while(~scanf("%d",&n)) printf("%d 的质数因子有 %d 种\n",n,T[n]);
	scanf("%d",&Case);
	for(int i=1;i<=Case;i++){
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		if(k==0){printf("Case %d: 0\n",i); continue;}
		if(b>d) swap(b,d);
		ans=work(b/k,d/k);
		ans-=work(b/k,b/k)/2;
		printf("Case %d: %lld\n",i,ans);
	}
	return 0;
}

 

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2.莫比乌斯反演

令$f(k)为gcd(x,y)=k的(x,y)的对数$

$F(k)为gcd(x,y)=\lambda k的(x,y)的对数$

显然$F(k)=\sum_{k|d}{f(d)}，且F(k)=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\times\lfloor\frac{m}{k}\rfloor$

那么由莫比乌斯反演公式的形式二(倍数关系那个式子)：

即 $\mathbf{f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)，需满足F(n)=\sum_{n|d}f(d)}$

所以我们要求的答案：$f(1)$可以化为如下形式：

$f(1)=\sum_{1|d}\mu(\frac{d}{1})F(d)$

$\quad\quad=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\times\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\times\lfloor\frac{m}{d}\rfloor$

感觉还是$O(n)$的呀，和上面的容斥没什么区别呢？

其实对于这种式子，有一个trick可以把其复杂度优化到$O(\sqrt{n})$

看看这样一个例子：

$\lfloor \frac{100}{34} \rfloor=\lfloor \frac{100}{35} \rfloor=\cdots=\lfloor\frac{100}{50}\rfloor=2$

即在向下取整的情况下，$F(k)$函数会有很多段相同的取值，

所以可以靠这个来把时间优化到$O(\sqrt{n})$。

具体实现看下面代码中的$work()函数$，（学习别人的，很巧妙，很简洁，但是也很迷。。。） 

/*
	http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695
	莫比乌斯反演,入门题。
	令 f(k)=gcd(x,y)
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 100500
using namespace std;
int mu[MAXN],pmu[MAXN];
void Mobius_Sieve(){
	static bool np[MAXN]; mu[1]=1; pmu[1]=1;
	static int prime[MAXN],pnt;
	for(int i=2;i<=100000;i++){
		if(!np[i]) prime[++pnt]=i,mu[i]=-1;
		pmu[i]=pmu[i-1]+mu[i];
		for(int j=1;j<=pnt&&i<=100000/prime[j];j++){
			np[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else mu[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
long long work(int b,int d){
	long long ret=0,tmp;
	for(int i=1,last;i<=b;i=last+1){
		last=min(b/(b/i),d/(d/i));
		tmp=1ll*(pmu[last]-pmu[i-1])*(b/i)*(d/i);
		ret+=tmp;
	}
	return ret;
}
int main(){
	Mobius_Sieve(); 
	int a,b,c,d,k,Case; long long ans;
	scanf("%d",&Case);
	for(int i=1;i<=Case;i++){
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		if(k==0){printf("Case %d: 0\n",i); continue;}
		if(b>d) swap(b,d);
		ans=work(b/k,d/k);
		ans-=work(b/k,b/k)/2;
		printf("Case %d: %lld\n",i,ans);
	}
	return 0;
}

(诶，这个莫比乌斯反演得到的式子和那个容斥的到的好像是一样的！)