剑指Offer - 九度1389 - 变态跳台阶

剑指Offer - 九度1389 - 变态跳台阶
2013-11-24 04:20

题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 

输入：

输入可能包含多个测试样例，对于每个测试案例，

输入包括一个整数n(1<=n<=50)。

输出：

对应每个测试案例，

输出该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

样例输入：

6

样例输出：

32

题意分析：
　　跳台阶问题，对于n级台阶，每次都可以跳任意级，问总共有多少种跳法。如果考虑最后一步跳了多远，很容易得出f[n] = f[n - 1] + f[n - 2] + ... + f[0]，f[n]表示跳n级台阶的跳法总数。原因很简单，你可以从0,1,2,...,n - 1的位置一口气跳到n。
　　于是f[n] = sigma(0, n - 1){f[i]}（没有这语法，我自己编的）
　　不要急着开始for循环，推导下公式：
　　　　f[n] = f[n - 1] + ... + f[0]
　　　　f[n - 1] = f[n - 2] + ... + f[0]
　　　　f[n] = f[n - 1] + (f[n - 1]) = 2 * f[n - 1]
　　　　f[n] = 2^(n - 1) * f[1], f[1] = 1
　　　　f[n] = 2^(n - 1)
　时间复杂度O(1)，空间复杂度...应该是0吧，没有定义任何额外变量。

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#include   <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    
    while(scanf("%d", &n) == 1){
        printf("%lld\n", 1LL << (n - 1));
    }
    
    return 0;
}