PRML读书笔记——3 Linear Models for Regression
Linear Basis Function Models
线性模型的一个关键属性是它是参数的一个线性函数，形式如下：
w是参数，x可以是原始的数据，也可以是关于原始数据的一个函数值，这个函数就叫basis function，记作φ(x)，于是线性模型可以表示成：
w0看着难受，定义一个函数φ0(x) = 1， 模型的形式再一次简化成：
以上就是线性模型的一般形式。basis function有很多选择，例如Gaussian、sigmoid、tanh （tanh(x) = 2 * sigmoid(a) − 1）。
Maximum likelihood and least squares
训练线性模型的时候，假设cost function为sum-of-squares error function，那么minimize cost function 和 maximize likelihood function是等价的。
另外一个发现就是，w0最终解出来为target values的均值 和 各个特征的basis function values均值的加权和 的差，如下：
Regularized least squares
一般的正则化形式如下：
q = 1, 为lasso(least absolute shrinkage and selection operator) 正则化，其特点是，当λ足够大的时候，某些参数会趋向0，看下图。
q = 2, 二次正则化，使得一些参数足够小。
Bias-Variance trade-off
假设y(x, D)代表基于数据集D训练出来的regression function， h(x)代表数据集D中，给定x条件下target value的期望
squared loss function可以写成：
后一项与y(x)无关，考虑前一项积分里面的部分：
{y(x; D) − h(x)}2 = {y(x; D) − ED[y(x; D)] + ED[y(x; D)] − h(x)}2
= {y(x; D) − ED[y(x; D)]}2 + {ED[y(x; D)] − h(x)}2
+2{y(x; D) − ED[y(x; D)]}{ED[y(x; D)] − h(x)}
这样积分取期望后为：
前一项为bias，后一项为variance。
于是loss function的总体希望就为，（bias）2 + variance + noise
于是就产生了bias-variance trade-off问题， flexible models低bias，高variance；rigid models 高bias，低variance。
在实际应用中，为了观察bias和variance，计算如下：
其中：
y(l)(x)是prediction function。
Bayesian Linear Regression（该段摘自Jian Xiao（iamxiaojian@gmail.com）的笔记Notes on Pattern Recognition and Machine Learning (Bishop)）
Bayesian 方法能够避免 over-fitting 的原因是： Marginalizing over the model parameters instead of making point estimates of their values.
假设有多个 model；观察到的 data set 是 D。 Bayesian 的 model comparison 方法是，比较各个模型的后验概率，即：
先验概率 p(Mi) allows us to express a preference for different model。可以假设每个模型的先验概率相等，那么剩下要比较的关键是： p(D|Mi) ——model evidence 或 marginal likelihood。
Model averaging V.S. model selection
Model averaging：把多个模型，用各自模型的后验概率加权平均，得到 predictive distribution为
Model selection： 只选择一个模型，即其中后验概率最大的模型。这是一种 approximation to model averaging。以上分析可以看出，各个 model 的后验概率是关键，而计算后验概率的关键又是 model evidence。
从 sampling 的角度看， Mi 相当于 hyper-parameter，而 w 则是 parameter。 一个 model 不同于另一个 model，是因为 hyper-parameter。
The Evidence Approximation
full Bayesian需要marginalize with respect to hyper-parameters as well as parameters，例如hyperparameter是alpha和beta，w是parameter，那么predictive distribution为：
就比较难，这里就考虑一种approximation，给hyperparameters设置一个特定的数值，这个数值由maximizing the marginal likelihood function 来确定。这个方法叫empirical Bayes、 type 2 maximum likelihood、generalized maximum likelihood、evidence approximation(in machine learning)
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