[BZOJ2154]Crash的数字表格
题面戳我
题意：求
（我不知道那个是不是质数不过有关系吗）
（SYC手玩告诉我这个数是质数，真是太厉害了）
sol
首先
这一步没问题吧
然后我们提出\(\gcd\)（假设\(n \le m\)）
其中$$f(n,m,d)=\sum_{i=1}{n}\sum_{j=1}ij*[\gcd(i,j)==d]$$
（理解一下。。。）
然后可以知道
其实就是把\(d\)提出来了而已
所以
接下来我们考虑\(f\)怎么求，想方设法往莫比乌斯反演上靠
我们令
这样子显然就对应了一个关系是
（你就当做前面的\(n\)和\(m\)看不见嘛。。。）
所以反演一下就有
这里求的是\(f(1)\)所以
现在我们又要考虑\(F\)怎么求（。。。）
把\(F\)里面的\(d\)提出来（就像前面提\(f\)一样）
因为\([1|\gcd(i,j)]\)恒成立
那后面这个东西不就可以直接\(O(1)\)算啦？（别告诉我这个都不会算）
还是讲一下吧
（其实就是两个等差数列求和再乘起来）
所以总结一下，形成了下面两个式子
直接搞的化复杂度俨然\(O(n^2)\)但是发现两式都可以数论分块所以复杂度就是\(O(\sqrt n *\sqrt n)=O(n)\)
（莫比乌斯的线性筛做到输入的\(n\)就行了别每次都做到\(10^7\)）
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 20101009;
const int N = 10000000;
int n,m,ans,mu[N+5],pri[N+5],tot,zhi[N+5],s[N+5];
void Mobius()
{
mu[1]=zhi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
{
zhi[i*pri[j]]=1;
if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
else {mu[i*pri[j]]=0;break;}
}
}
for (int i=1;i<=n;i++)
s[i]=(s[i-1]+1ll*mu[i]*i*i%mod+mod)%mod;
}
int Sum(int x,int y){return (1ll*x*(x+1)/2%mod)*(1ll*y*(y+1)/2%mod)%mod;}
int calc(int a,int b)
{
int i=1,res=0;
while (i<=a)
{
int j=min(a/(a/i),b/(b/i));
res=(res+1ll*(s[j]-s[i-1]+mod)%mod*Sum(a/i,b/i)%mod)%mod;
i=j+1;
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
if (n>m) swap(n,m);
Mobius();
int i=1;
while (i<=n)
{
int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans=(ans+1ll*(j+i)*(j-i+1)/2%mod*calc(n/i,m/i)%mod)%mod;
i=j+1;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
然而
你以为这样就完了么？
题面戳我（权限题别问我是怎么搞到的）
就是和上面相同，然后一万组询问。
呵呵，\(O(n)\)的死掉了吧。
所以，我们进一步考虑这道题怎么优化到单组询问\(O(\sqrt n)\)
答案式是长这样的没错吧（别比了，就是从上面蒯下来的，只是合并了而已）
和这道题的套路一样，我们令\(T=id\)，然后考虑每一项$$\frac {\lfloor\frac nT\rfloor(\lfloor\frac nT\rfloor+1)}{2} \frac {\lfloor\frac mT\rfloor(\lfloor\frac mT\rfloor+1)}{2}$$的贡献。
所以式子就化成
（这一步请自行手玩。。。）
然后后面那一坨是一个积性函数（可参照狄利克雷卷积的形式），所以线性筛即可。
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 100000009;
const int N = 10000000;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
int pri[N+5],tot,zhi[N+5],h[N];
void Mobius()
{
h[1]=1;
for (int i=2;i<=N;i++)
{
if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,h[i]=(i-1ll*i*i%mod+mod)%mod;
for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
{
zhi[i*pri[j]]=1;
if (i%pri[j]) h[i*pri[j]]=1ll*h[i]*h[pri[j]]%mod;
else {h[i*pri[j]]=1ll*h[i]*pri[j]%mod;break;}
}
}
for (int i=1;i<=N;i++) h[i]=(h[i]+h[i-1])%mod;
}
int Sum(int x,int y){return (1ll*x*(x+1)/2%mod)*(1ll*y*(y+1)/2%mod)%mod;}
int main()
{
Mobius();
int T=gi();
while (T--)
{
int n=gi(),m=gi();
if (n>m) swap(n,m);
int i=1,ans=0;
while (i<=n)
{
int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans=(ans+1ll*Sum(n/i,m/i)*(h[j]-h[i-1]+mod)%mod)%mod;
i=j+1;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
