莫比乌斯反演

下文中涉及\(F(x)\)与\(f(x)\)关系的含\(\sum\)的式子中，默认使用的自变量为\(d\)
下文中一律默认\(n\leq m\)，即\(\min(n,m)=n\)

正文

我们假设现在手上有两个函数\(f(x)\)和\(F(x)\)，其中\(F(x)\)很好求，\(f(x)\)很难求。已知\(F(x)\)可以表示成\(f(x)\)的和的形式，那么我们用\(F(x)\)反过来去求\(f(x)\)的过程就叫做莫比乌斯反演。
莫比乌斯反演主要有以下两种形式。

第一种

已知

\[F(x)=\sum_{d|x}f(d) \]

则

\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})F(d) \]

第二种

已知

\[F(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d) \]

则

\[f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})F(d) \]

其中\(\mu(x)\)为莫比乌斯函数，可表示为
1、若\(x=1\)，则\(\mu(x)=1\)
2、若\(x=p_1p_2p_3...p_k\)，则\(\mu(x)=(-1)^k\)
3、若\(x=p^2*d\quad(d\in N^{+})\)，则\(\mu(x)=0\)
莫比乌斯函数可以通过线性筛在\(O(n)\)时间复杂度内得到。

int mu[N],pri[N],tot;
bool zhi[N];//zhi[i]为true的表示不是质数
void Mobius()
{
	zhi[1]=true;mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
		{
			zhi[i*pri[j]]=true;
			if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*pri[j]]=0;break;}
		}
	}
}

举个栗子

我们现在需要求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1] \]

或者是

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j) \]

那么我们构造两个函数\(f(x)\)，\(F(x)\)，令

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x] \]

又令$$F(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)$$
观察式子，发现\(F(x)\)就是指在1到n和1到m中各选1个数它们的gcd是的x的倍数的方案数，那么显然有一个这样子的式子：

\[F(x)=\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor \]

这就对应了“\(F(x)\)很好求而\(f(x)\)很难求”的要求，所以就可以用莫比乌斯反演做了。
如果求的是第一问那么答案就是\(f(1)\)，如果求的是第二问那么答案就应该是$$\sum_{i=1}^{n}f(i)*i$$而如果要把所有\(f(i)\)求出来的话复杂度是

\[O(\sum_{i=1}^{n}\frac ni) \]

哎呀我数学太差了这个等于多少来着，反正\(n\le 10w\)的数据肯定是跑得过的。
2018-10-31upt：\(O(n\ln n)\)

骚操作

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]=\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[gcd(i,j)==1] \]

就是把k的因子提出来了而已辣。

奇技淫巧

我们现在只考虑上方的第一问，即求$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}[gcd(i,j)==1]$$
易知每次计算\(F(x)\)的复杂度是\(O(n)\)，然后要算出\(f(1)\)的复杂度也是\(O(n)\)，也就是说一组数据的时间复杂度是\(O(n)\)。
那我有\(10^5\)组数据不就\(GG\)了？
这里用到高神讲到的数论分块。
我们看\(F(x)\)，它等于\(\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor\)，我们可以证明，它在\([1,n]\)上仅有至多\(O(\sqrt n)\)种取值。
我们维护一个\(\mu(x)\)的前缀和，然后把\(F(x)\)值相同的放在一起算贡献。
总复杂度变为\(O(T\sqrt n)\)

题目

到了这一步了。如果你想要继续，请先完成如下例题：
[POI2007]ZAP-Queries
[BZOJ2301][HAOI2011]Problem B
[BZOJ2818]Gcd
（我就直接放我博客的链接了啊，原题链接都有，一定要自己去推一推式子，不要直接看题解）

进阶

如果你还记得我在前文中提到的求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)\)的复杂度是\(O(\sum_{i=1}^{n}\frac ni)\)的话，请你千万要忘了它。
常规复杂度应该是\(O(n)\)，可以跑\(n<=10^7\)的数据。
如果你应是要跑多组数据也不是没问题。经过\(O(n)\)的预处理后，单组数据的复杂度可以做到\(O(\sqrt n)\)
具体实现就请在做题中领悟吧。真的不是我懒得写