范数的对偶以及几何性质
将学习到什么
介绍范数的单位球以及对偶定理.
范数的单位球
范数的基本几何特征是它的单位球，透过它可以深入洞察范数的性质.
定义 1 ： 设 \(\lVert \cdot \rVert\) 是实或者复向量空间 \(V\) 上的一个范数，\(x\) 是 \(V\) 的一个点，又设给定 \(r>0\). 以 \(x\) 为中心、\(r\) 为半径的球定义为集合
\begin{align}
B_{\lVert \cdot \rVert}(r;x)=\{y \in V： \lVert y-x \rVert \leqslant r \}
\end{align}
\(\lVert \cdot \rVert\) 的单位球是集合
\begin{align}
B_{\lVert \cdot \rVert} =B_{\lVert \cdot \rVert}(1;0) = \{y \in V： \lVert y \rVert \leqslant 1 \}
\end{align}
以任意点 \(x\) 为中心具有给定半径的球与以原点为中心有同样半径的球看起来相同，它正好是平移到点 \(x\). 我们的目的是要精确地确定 \(\mathbb{C}^n\) 的哪些子集能是某个范数的单位球.
定义 2 ： 如果范数的单位球是一个多面体，则称该范数是多面体的.
\(l_1，l_{\infty}\) 范数是多面体的
对偶定理
任何范数都是其对偶范数之对偶.
定理 3 ： 设 \(f\) 是 \(V=\mathbb{R^n}\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上一个准范数，用 \(f^D\) 表示 \(f\) 的对偶范数，用 \(f^{DD}\) 表示 \(f^D\) 的对偶范数，设 \(B=\{x \in V：f(x) \leqslant 1 \}\)，又设 \(B''=\{x \in V ：f^{DD}(x) \leqslant 1\}\). 那么
(a) 对所有 \(x \in V\) 有 \(f^{DD}(x) \leqslant f(x)\)，所以 \(B \subset B''\)
(b) \(B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}\)，\(B\) 的凸包的闭包
(c) 如果 \(f\) 是范数，那么 \(B=B''\)，且 \(f^{DD}=f\)
(d) 如果 \(f\) 是范数且给定 \(x_0 \in V\)，那么就存在某个 \(z \in V\)（不一定是唯一的），使得 \(f^D(z)=1\) 以及 \(f(x_0)=z^*x_0\)，也即对所有 \(x \in V\) 有 \(\lvert z^*x \rvert \leqslant f(x)\)，以及有 \(f(x_0)=z^*x_0\).
证明：(a) 如果 \(x \in V\) 是一个给定的向量，那么对偶范数的一种等价的表达方式确保对任何 \(y \in V\) 都有 \(\lvert y^*x \rvert \leqslant f(x)f^D(y)\)，从而
\begin{align}
f{DD}(x)=\max\limits_{fD(y)=1}\lvert y^*x\rvert \leqslant \max\limits_{fD(y)=1}f(x)fD(y) = f(x)
\end{align}
于是，对所有 \(x \in V\) 都有 \(f^{DD}(x) \leqslant f(x)\)，这是一个与几何命题 \(B \subset B''\) 等价的不等式.
(b) 集合 \(\\{t \in V：\mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1 \\}\) 是一个包含原点的闭的半空间，且任何这样的半空间都可以用这样的方式表示. 利用对偶范数的定义，设 \(u \in B''\) 是一个给定的点，并注意到
\begin{align}
u & \in \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满足}\,\, f^D(v) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v \} \notag \\
& = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满足}\,\, v^*w \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v （\text{对每个满足}\,\, f(w) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\,w）\} \notag \\
& = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满足}\,\, w^*v \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v （\text{对所有}\,\, w\in B）\} \notag
\end{align}
这样一来，\(u\) 就在每一个包含 \(B\) 的闭的半空间之内. 由于这样闭的半空间的交是 $ \overline{\mathrm{Co}(S)}$，我们断定有 \(u\in \overline{\mathrm{Co}(S)}\). 但是点 \(u \in B''\) 是任意的，故有 \(B'' \in \overline{\mathrm{Co}(S)}\). 由于 \(\mathrm{Co}(B)\) 是包含 \(B\) 的所有凸集的交，而 \(B''\) 是包含 \(B\) 的凸集，故而我们有 \(\mathrm{Co}(B) \subset B''\). 集合 \(B''\) 是一个范数的单位球，所以它是紧的，从而是闭的. 我们断言有 \(\overline{\mathrm{Co}(S)} \subset \overline{B''}=B''\)，从而 \(B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}\).
(c) 如果 \(f\) 是一个范数，那么它的单位球就是凸的且是闭的，所以 \(B=\overline{\mathrm{Co}(S)} =B''\). 由于它们的单位球相同，故而范数 \(f\) 与 \(f^{DD}\) 相同.
(d) 对每个给定的 \(x_0 \in V\)，(c) 确保有 \(f(x_0)=\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0\)，而范数 \(f^D\) 的单位球面的紧性确保存在某个 \(z\)，使得 \(f^D{z}=1\) 以及 \(\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0 = \mathrm{Re}\,\,z^*x_0\). 如果 \(z^*x_0\) 不是实数且不是非负的，就会存在一个实数 \(\theta\)，使得 \(\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}z^*x_0) >0> \mathrm{Re}\,\,z^*x_0\)（当然就有 \(f^D(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z)=f^D(z)=1\)），这与最大性矛盾：对 \(f^D\) 的单位球面中的所有 \(y\) 都有 \(\mathrm{Re}\,\,z^*x_0 \geqslant \mathrm{Re}\,\,y^*x_0\).
上一定理的结论 (c) 可能是对偶定理的最要且应用最广泛的部分. 例如，它允许我们将任何范数 \(f\) 表示为
\begin{align}
f(x) = \max\limits_{fD(y)=1}\mathrm{Re}\,\,y*x
\end{align}
这个表示就是拟线性化的一个例子.
推论 4： \(\mathbb{R^n}\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上的范数是单调的.
证明：假设 \(\lVert \cdot \rVert\) 是 \(\mathbf{F}\) 上一个绝对范数. 定理 3(b) 确保它的对偶 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 是绝对的. 对偶定理告诉我们：\(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对范数 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 的对偶，故而推出 \(\lVert \cdot \rVert\) 是单调的.
应该知道什么
- 任何范数都是其对偶范数之对偶
