非奇异矩阵的零度互补法则

假设 \(A \in M_n(\mathbf{F})\) 非奇异，设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是 \(\{1,\cdots,n\}\) 的非空子集，并用 \(\lvert \alpha \rvert =r\) 和 \(\lvert \beta \rvert =s\) 记 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的基数。则零度互补法则说的就是
\begin{align}
\mathrm{nullity}(A[\alpha,\beta])=\mathrm{nullity}(A^{-1}[\betac,\alpha^c])
\end{align}
以行来说（列是一样的） \(\mathrm{nullity}(A[\alpha,\beta])=r-\mathrm{rank}(A[\alpha,\beta])\),\(\mathrm{nullity}(A^{-1}[\beta^c,\alpha^c]) =n-s-\mathrm{rank}(A^{-1}[\beta^c,\alpha^c])\), 所以式 (1) 等价于秩恒等式
\begin{align}
\mathrm{rank}(A[\alpha,\beta])=\mathrm{rank}(A^{-1}[\betac,\alpha^c])+r+s-n
\end{align}
由于我们可以对行和列作排列，首先放置由 \(\alpha\) 指定的 \(r\) 行以及 \(\beta\) 指定的 \(s\) 列，所以只需考虑表达式
\begin{align}
A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} ,\qquad A^{-1}=\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}
\end{align}
即可，其中 \(A_{11}\) 和 \(B_{11}^T\) 是 \(r \times s\) 矩阵，而 \(A_{22}\) 和 \(B_{22}^T\) 是 \((n-r)\times (n-s)\) 矩阵，这样式 (1) 说的就是 \(\mathrm{nullity}(A_{11})=\mathrm{nullity}(B_{22})\).

 
这里的基本原则非常简单，假设 \(A_{11}\) 的零度（nullity） 为 \(k\). 如果 \(k \geqslant 1\), 设 \(X\in M_{s,k}(\mathbf{F})\) 的列是 \(A_{11}\) 的零空间的一组基，由于 \(A\) 非奇异，故而
\begin{align}
A\begin{bmatrix} X \\0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{11}X \\ A_{21}X \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ A_{21}X \end{bmatrix}
\end{align}
是满秩的，所以 \(A_{21}X\) 有 \(k\) 个线性无关的列. 但是
\begin{align}
\begin{bmatrix}B_{12}(A_{21}X) \\ B_{22} (A_{21}X) \end{bmatrix}= A^{-1}\begin{bmatrix} 0 \\ A_{21}X \end{bmatrix}=A^{-1}A\begin{bmatrix} X \\0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} X \\0 \end{bmatrix}
\end{align}
所以 \(B_{22}(A_{21}X)=0\), 从而 \(\mathrm{nullity}(B_{22}) \geqslant k=\mathrm{nullity}(A_{11})\), 此命题当 \(k=0\) 时平凡地成立. 从 \(B_{22}\) 出发用类似地推理可得 $\mathrm{nullity}(A_{11})\geqslant \mathrm{nullity}(B_{22}) $.
 
当然，式 (1) 也告诉我们有 $\mathrm{nullity}(A_{12}) =\mathrm{nullity}(B_{12}) $, $\mathrm{nullity}(A_{21}) =\mathrm{nullity}(B_{21}) $, 以及 $\mathrm{nullity}(A_{22}) =\mathrm{nullity}(B_{11}) $. 如果 \(r+s=n\), 那么 \(\mathrm{rank}(A_{11})=\mathrm{rank}(B_{22})\) 且 \(\mathrm{rank}(A_{22})=\mathrm{rank}(B_{11})\), 而如果 \(n=2r=2s\), 由也有 \(\mathrm{rank}(A_{12})=\mathrm{rank}(B_{12})\) 以及 \(\mathrm{rank}(A_{21})=\mathrm{rank}(B_{21})\). 最后式 (2) 告诉我们，一个 \(n \times n\) 非奇异矩阵的 \(r \times s\) 子矩阵的秩至少为 \(r+s-n\).