特征多项式、代数重数与几何重数

概要

主要介绍了特征多项式、代数重数、几何重数以及重要的性质。

一个复方阵有多少个特征值？

首先要做的当然是给出定义啦！

接下来给出一个结论：

证明：我们分三步加以说明，

由 $tI-A$ 行列式的计算展开表达式知，只有全取对角元素时，求和项次数才能达到 $n$，即
\begin{align}
(t-a_{11}) \cdots (t-a_{nn}) = t^n-(a_{11}+ \cdots + a_{nn}) t^{n-1}+\cdots
\label{eq1}
\end{align}
任何其它因子必包含非对角因子 $-a_{ij}\,(i \neq j)$，则对角元素 $t-a_{ii}$ 与 $t-a_{jj}$ 不可能也是因子。因此求和项次数不可能大于 $n-2$，于是式 \ref{eq1} 确定了 $t^n$ 和 $t^{n-1}$ 的系数。$p_A(t)$ 的常系数项正好是 $p_A(0)=\mathrm{det}(-A)=(-1)^n \mathrm{det} A$ .
$p_A(\lambda)=0 \Leftrightarrow \mathrm{det}(\lambda I-A)=0 \Leftrightarrow (\lambda I-A)x=0, x\neq 0 \Leftrightarrow \lambda \in \sigma(A) $
一次数为 $n\geqslant 1$ 的多项式至多有 $n$ 个不同零点。

结论 $1.1$ 告诉我们，结合推广的韦达定理知：$p_A(t)$ 的零点之和是 $A$ 的迹 $tr(A)$，而零点之积则是 $A$ 的行列式 $\mathrm{det} A$。进一步，如果 $p_A(t)$ 的每个零点的重数都是 $1$，$tr(A)$ 是 $A$ 的特征值之和，而 $\mathrm{det} A$ 是 $A$ 的特征值之积 . 其实条件 “ 如果 $p_A(t)$ 的每个零点的重数都是 $1$” 可以不需要，只不过得按照它们作为特征方程的重数来对 $A$ 的特征值加以计数，下面引入代数重数的概念，

我们约定 $A \in M_n$ 的特征值总是指这个特征值与其相对应的（代数）重数的合并称谓. 因此无需限制就能说：每个矩阵 $A \in M_n$ 在复数中恰好有 $n$ 个特征值，且 $A$ 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积.

我们知道了每一个 $n\times n$ 复矩阵都有有限多个特征值，故可以给出如下定义.

在本小节的最后，再给出一个重要的定理，

证明：在上一节特征值和特征向量的推论 $1.2$ 知，$\lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \lambda + \varepsilon \in \sigma(A+\varepsilon I)$，我们的目标是 $ \lambda + \varepsilon \neq 0$, 如果 $A$ 的所有特征值都为零，取 $\delta=1$，如果 $A$ 的某个特征值不为零，则令 $\delta=\min \{\lvert \lambda \rvert: \lambda \in \sigma(A) , \lambda \neq 0\}$ , 此时任何一个满足 $0<\lvert \varepsilon \rvert<\delta$ 的 $\varepsilon$, 必有 $-\varepsilon \notin \sigma(A)$，所以 $ \lambda + \varepsilon \neq 0$, 即 $0 \notin \sigma(A+\varepsilon I)$, 因此 $A+\varepsilon I$ 是非奇异的.

上述定理表明，一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的.

几何重数

开始先给出一个关于特征值的结论，

证明：由于 $\mathrm{det}(tI-A^T)=\mathrm{det}(tI-A)^T=\mathrm{det}(tI-A)$, 我们有 $p_{A^T}(t)=p_A(t)$, 所以有 $p_{A^T}(\lambda)=0$ 当且仅当 $p_A(\lambda)=0$. 类似地，$\mathrm{det}(\bar{t}I-A^*)=\mathrm{det}[(tI-A)^*]=\overline{\mathrm{det}(tI-A)}$, 所以 $p_{A^*}(\bar{t})=\overline{p_A(t)}$, 又 $p_{A^*} (\bar{\lambda})=0$ 当且仅当 $p_A(\lambda)=0$.

如果 $x,y\in \mathbb{C}^n$ 两者都是 $A\in M_n$ 的与特征值 $\lambda$ 相伴的特征向量，那么 $x$ 与 $y$ 的任何非零的线性组合也是它的与 $\lambda$ 相伴的特征向量。实际上，与一个给定的 $\lambda \in \sigma(A)$ 相伴的所有特征向量组成的集合与零向量合起来作成 $\mathbb{C}^n$ 的一个子空间，该子空间就是 $A-\lambda I$ 的零空间，就是齐次线性方程组 $(A-\lambda I)x=0$ 的解集，由秩的关系知其维数是 $n-\mathrm{rank} (A-\lambda I)$. 该空间有个名字就是特征空间，下面给出特征空间的完整定义，

由 $Ax=\lambda x$ 便知，$A$ 的与特征值 $\lambda$ 相伴的特征空间是一个 $A$-不变子空间，需要注意的是，一个 $A$-不变子空间不一定就是 $A$ 的特征空间。特征向量不能为零，所以最小的 $A$-不变子空间（不包含有严格的更低维度的非零的 $A$-不变子空间） $W$ 是 $A$ 的单独一个特征向量所生成的子空间，也就是说 $\mathrm{dim} W=1$。介绍完特征空间，就可以定义几何重数了，

可以证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数的。下面给一个说明：设 $\alpha$ 是特征多项式 $p(t)$ 的一个代数重数为 $k \geqslant 1$ 的零点，当且仅当可以将 $p(t)$ 写成形式
\[
p(t)=(t-\alpha)^k q(t)
\]
其中 $q(t)$ 是一个满足 $q(\alpha) \neq 0$ 的多项式。对 p(t) 求导得：$p'(t)=k(t-\alpha)^{k-1}q(t)+(t-\alpha)^kq'(t)$, 它表明 $p'(\alpha)=0$ 当且仅当 $k>1$. 如果 $k \geqslant 2$, 那么 $p''(t)=k(k-1)(t-\alpha)^{k-2}\cdot q(t)+$ 若干个多项式项，其中每一项都含有一个因子 $(t-\alpha)^m, m\geqslant k-1$, 所以 $p''(\alpha)=0$ 当且仅当 $k>2$. 重复这一计算表明，$\alpha$ 是 $p(t)$ 的 $k$ 重零点，当且仅当 $p(\alpha)=p'(\alpha)=\cdots=p^{k-1}(\alpha)=0$ 以及 $p^k(\alpha) \neq 0$. 据此可以证明一个定理，

证明：如果令 $B=A-\lambda I$, 那么 $0$ 就是 $B$ 的一个重数为 $k$ 的特征值，从而有 $p_B^{(k)}(0) \neq 0$. 但是 $p_B^{(k)}(0) =k! (-1)^{n-k}E_{n-k}(B)$, 其中 $E_{n-k}(B)$ 表示 $B$ 的 $n-k$ 阶主子式之和，故有 $E_{n-k}(B) \neq 0$. 特别地，$B=A-\lambda I$ 的某个 $n-k$ 阶主子式不为零，所以 $\mathrm{rank} (A-\lambda I) \geqslant n-k $. 如果 $k=1$, $A-\lambda I$ 是奇异的，故而 $n>\mathrm{rank}(A-\lambda I) \geqslant n-1$, 这就意味着：如果特征值 $\lambda$ 的代数重数为 $1$, 那么 $\mathrm{rank} (A-\lambda I) = n-1$.

上述定理即可证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数，同时还说明了代数重数为 $1$，几何重数必定为 $1$. 需要注意的是并不是说代数重数为 $1$ 时，代数重数才等于它的几何重数，比如单位矩阵 $I_2$, $\lambda=1$代数重数和几何重数都为 $2$, 因此它也是半单的。

一个矩阵可对角化，当且仅当它是无亏的；它有完全不同的特征值，当且仅当它是无损的且是无亏的。考虑以下矩阵的特征值 $\lambda=1$, 矩阵 $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0 &2 \end{bmatrix}$，代数重数等于它的几何重数且都是 $1$, 它是无亏的，单位矩阵 $I_2$ 是无亏的且是有损的，矩阵 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$, 几何重数是 $1$, 代数重数是 $2$，它是有亏的且是无损的。
尽管 $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值，它们与给定特征值相伴的特征空间有可能是不同的。比如，矩阵 $A=\begin{bmatrix} 2&3 \\ 0 &4 \end{bmatrix}$, 那么 $A$ 的与特征值 $2$ 相伴的（一维）特征空间是由 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 生成的，而 $A^T$ 的与特征值 $2$ 相伴的特征空间是由 $\begin{bmatrix} 1& \\ & -3/2 \end{bmatrix}$ 生成的。