基变换
概要
主要介绍了几个基本概念：基的表示，线性变换矩阵，以及进一步地理解。
定义以及记号
设 \(\mathscr{B}_1\) 是 \(n\) 维向量空间 \(V\) 的一组基，记
\begin{align}
\mathscr{B}_1=\{ v_1 ,v_2, \cdots , v_n \}
\end{align}
对于给定的基 \(\mathscr{B}_1\)，我们定义一个由 \(V\) 到 \(\mathbf{F}^n\) 的映射
\begin{align}
x \rightarrow [x]_{\mathscr{B}_1}=
\begin{bmatrix}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{bmatrix} \qquad
\text{其中 } x=\alpha_1 v_1 + \alpha_2v_2+ \cdots + \alpha_n v_n
\end{align}
显然该映射是一对一的，同时是到上的。
假设 \(T\) 是一个给定的 \(V \rightarrow V\) 的线性变换，一旦给定 \(Tv_1,Tv_2,\cdots,Tv_n\)， 对于 \(\forall x \in V\) 我们就可以确定 \(Tx\) 的值。原因是 \(x=\alpha_1 v_1 + \alpha_2v_2+ \cdots + \alpha_n v_n\) 有唯一的表示，且有线性关系知
\begin{align}
Tx &=T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2v_2+ \cdots + \alpha_n v_n) \notag \\
&=T(\alpha_1 v_1)+T(\alpha_2 v_2)+\cdots+T(\alpha_n v_n) \notag\\
&= \alpha_1 Tv_1 + \alpha_2 Tv_2 +\cdots+ \alpha_n Tv_n
\end{align}
因此一旦知道 \([x]_{\mathscr{B}_1}\)，\(Tx\) 随之也确定了。
我们知道一个空间的基并不是唯一的，要介绍基的变换，自然要引入另一组基，不妨用 \(\mathscr{B}_2\) 表示
\begin{align}
\mathscr{B}_2=\{ w_1 ,w_2, \cdots, w_n \}
\end{align}
先定义向量 \(Tv_j\) 在基 \(\mathscr{B}_2\) 下的坐标为
\begin{align}
[Tv_j] _{\mathscr{B}_2}=
\begin{bmatrix}
t_{1j} \\
\vdots \\
t_{nj}
\end{bmatrix}
\label{tt1}
\end{align}
则对于 \(\forall x \in V\)，我们有
\begin{align}
[Tx]_{\mathscr{B}_2} &=\bigg[\sum_{j=1}^n \alpha_j Tv_j \bigg]_{\mathscr{B}_2} = \sum_{j=1}^n \alpha_j [Tv_j]_{\mathscr{B}_2} \notag \\
&= \sum_{j=1}^n \alpha_j
\begin{bmatrix}
t_{1j} \\
\vdots \\
t_{nj}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
t_{11} &\cdots & t_{1n} \\
\vdots & \ddots &\vdots \\
t_{n1} &\cdots & t_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{bmatrix}
\label{tt2}
\end{align}
由式 \ref{tt1} 和式 \ref{tt2} 知 \(n\) 维方阵 \([t_{ij}]\) 只依赖于线性变换 \(T\) 和两组基 \(\mathscr{B}_1,\mathscr{B}_2\)，而和向量 \(x\) 无关。
我们再定义 \(T\) 的 \(\mathscr{B}_1-\mathscr{B}_2\) 基表示为
\begin{align}
_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_1}=
\begin{bmatrix}
t_{11} &\cdots & t_{1n} \\
\vdots & \ddots &\vdots \\
t_{n1} &\cdots & t_{nn}
\end{bmatrix} =
\big[
[Tv_1]_{\mathscr{B}_2} \cdots [Tv_n]_{\mathscr{B}_2}
\big]
\end{align}
总结一下，其实就是 \([Tx]_{\mathscr{B}_2}={}_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot [x]_{\mathscr{B}_1},\forall x \in V\).\ 一个特殊情况，当 \(\mathscr{B}_1=\mathscr{B}_2\) 时，我们称 \(_{\mathscr{B}_1}[T]_{\mathscr{B}_1}\) 为 \(T\) 的\(\mathscr{B}_1\) 基表示。
进一步理解
先考虑单位线性变换 \(I:V \rightarrow V\)，根据上一部分的内容，对 \(\forall x \in V\)，有
\begin{align}
[x]_{\mathscr{B}_2}=[Ix]_{\mathscr{B}_2} = {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot [x]_{\mathscr{B}_1} = {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot [Ix]_{\mathscr{B}_1}= {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2} \cdot [x]_{\mathscr{B}_2}
\label{tt3}
\end{align}
取遍所有的基，即依次取 \(x=w_1,w_2,\cdots,w_n\)，式 \ref{tt3} 能够得出
\begin{align}
{}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2}= I_n
\end{align}
这里必须取遍所有基，避免出现不动点的情况，而导致条件不充分。相反，如果从 \([x]_{\mathscr{B}_1}=[Ix]_{\mathscr{B}_1}=\cdots\) 开始计算，会得出
\begin{align}
{}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2} \cdot {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1}= I_n
\end{align}
因此，记 \(S\equiv{}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1}\)，则 \(S^{-1} = {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2}\)，实际上，形如 \({}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1}\) 的矩阵都是可逆的，反过来，每一个可逆阵 \(S=[s_1 \, s_2 \cdots s_n] \in M_n(\mathbf{F})\) 对某个基 \(\mathscr{B}\) 也有形式 \({}_{\mathscr{B}_1}[I]_\mathscr{B}\)，可以把 \(\mathscr{B}\) 看成是由 \([\tilde{s}_i]_{\mathscr{B}_1}=s_i,\, i=1,2,\cdots,n\) 定义的向量组 \(\{\tilde{s}_1,\tilde{s}_2,\cdots,\tilde{s}_n\}\). 因为 \(S\) 可逆，所以向量组 \(\mathscr{B}\) 线性无关。
注意到
\begin{align}
_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1}=
\big[
[Iv_1]_{\mathscr{B}_2} \cdots [Iv_n]_{\mathscr{B}_2}
\big] =
\big[
[v_1]_{\mathscr{B}_2} \cdots [v_n]_{\mathscr{B}_2}
\big]
\end{align}
于是 \(_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1}\) 是用基 \(\mathscr{B}_2\) 来表示基 \(\mathscr{B}_1\) 的各个元素。现在令 \(x \in V\) ，经计算
\begin{align}
{}_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_2} \cdot [x]_{\mathscr{B}_2} = [Tx]_{\mathscr{B}_2} &=[I(Tx)]_{\mathscr{B}_2} = {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot [Tx]_{\mathscr{B}_1} \notag \\
&={}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot [x]_{\mathscr{B}_1} ={}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot [Ix]_{\mathscr{B}_1} \notag \\
&={}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2} \cdot [x]_{\mathscr{B}_2}
\end{align}
依次取 \(x=w_1,w_2,\cdots,w_n\)，便得出
\begin{align}
{}_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_2} = {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2}
\end{align}
这个恒等式说明，如果用来计算的基发生变化，\(T\) 的基将如何变化，即是怎么从基 \(\mathscr{B}_1\) 变化到基 \(\mathscr{B}_2\) 的，正是如此，才称矩阵 \({}_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_1}\) 为\(\mathscr{B}_1 - \mathscr{B}_2\) 基变换矩阵。
任一矩阵 \(A \in M_n(\mathbf{F})\) 是某个线性变换 \(T:V \rightarrow V\) 的一个基表示，这是因为，如果 \(\mathscr{B}\) 是 \(V\) 的任一组基，可以用 \([Tx]_{\mathscr{B}}=A[x]_{\mathscr{B}}\) 来确定 \(Tx\)，把 \([Tx]_{\mathscr{B}}\) 展开即可算出，对于这个 \(T\)，\({}_{\mathscr{B}}[T]_{\mathscr{B}}=A\).
读完应该知道什么
- 线性变换 \(T\) 的 \(\mathscr{B}_1-\mathscr{B}_2\) 基表示为 \(n\) 维方阵，也称为 \(\mathscr{B}_1 - \mathscr{B}_2\) 基变换矩阵
- 基变换矩阵只依赖于线性变换 \(T\) 和两组基 \(\mathscr{B}_1,\mathscr{B}_2\)
- \([Tx]_{\mathscr{B}_2}={}_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot [x]_{\mathscr{B}_1},\forall x \in V\)
- \({}_{\mathscr{B}_2}[T]_{\mathscr{B}_2} = {}_{\mathscr{B}_2}[I]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[T]_{\mathscr{B}_1} \cdot {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}_2}\)
- 任一矩阵 \(A \in M_n(\mathbf{F})\) 是某个线性变换 \(T:V \rightarrow V\) 的一个基表示
写在最后的话
文章用的是 Markdown 结合 MathJax 插件，写数学公式时，对一些转义字符冲突的问题。主要是两个：_ 和 \\，\ 后面跟单词的情况是没问题的，_ 在 $ 符号之间也没问题，我遇到主要出现在\begin 内的公式里，如果出现问题，我自己的解决方案：
\\写成\\\\.- 在
_左边加个\，如果要显示左下标，加上占位符{}即可。
第一次敲这个，就这么点内容花了将近一天时间哪！如果公式很多的话，还是用 \(\mathrm{\LaTeX}\)，然后粘贴图片比较方便。
