阶乘尾部的0（解法思路）

昨天看到一个编程题，以为很简单，结果还费了一番周折才做出来。

 

题目：设计一个算法，计算出n阶乘中尾部零的个数

样例

11! = 39916800，因此应该返回 2

 

思路： 最无脑的办法就是直接求出阶乘的值，然后统计尾部的0：

 

class Solution {
public:
    /*
     * @param n: A long integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    long long trailingZeros(long long n) {
        if(n==0||n==1)
        {return 0;}
        
        long long result=1;
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        for(long long i=1;i<=n;i++)
        {
            result = result*i;
        }
        int count=0; 
        while(result%10==0)
        {
            count++;
            result = result/10;
        }
        return count;
    }
};

 

这种方法简单粗暴，但是如果给定n的值很大的话，求阶乘的计算量非常大。

 

下面就有了第二种思路，在乘法计算里，只要乘以一个10或者10的个位数倍数，结果的后面就会增加一个0。

因为n的阶乘中一定会有n/2个偶数，所以我们只需要考虑有多少个5的倍数，结果的末尾就会增加多少个0。

这里还要考虑到一种情况就是，如果被乘数是5的n次方的倍数话，就结果的末尾增加n个0，例如25可以表示成5*5，一定可以找到一个4的倍数和他相乘使得结果末尾增加两个0；

那么到这里，思路就可以确认为：判断有多少个被乘数是5的倍数，如果是5的倍数的话，再判断这个数是不是5的指数的倍数。就可以确认结果的末尾到底有多少个0

代码如下：

 

class Solution {
public:
    /*
     * @param n: A long integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    long long trailingZeros(long long n) {
        if(n==0||n==1)
        {return 0;}
        
        int count=0;
        long long temp = 0;
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        for(long long i=1;i<=n;i++)
        {
            temp = i;
            while(temp%5==0)
            {
                count++;
                temp = temp/5;
            }

        }

        return count;
    }
};

 

这样虽然优化了很多，但是时间复杂度是O(N/5)~=O(N)，还是没有达到O(logN)的要求，

最开始想到我要看从1～n里有多少个5的倍数，只需要直接用n除以5就可以知道结果了，但是5的倍数里面还包含了25、125······这些5的多次幂。

如果遇到这些数的话，结果就不是加1而是加2加3····；

但是如果换个思路，我们在统计5的倍数的时候，已经就吧25，125····这些数统计进去了，25的倍数就是比5的倍数能多提供一个0；125的倍数就是能在5的倍数和25的倍数的基础上再多提供一个0····

依此类推，那我们需要求的结果其实就是

n/5 + n/25 + n/125 + n/625······

代码实现：

class Solution {
public:
    /*
     * @param n: A long integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    long long trailingZeros(long long n) {
        long long count=0;
        long long a = n/5;
        while(a>0)
        {
            count=count+a;
            a=a/5;
        }

        return count;
    }
};