C++实现筛选法
筛选法
介绍:
筛选法又称筛法,是求不超过自然数N(N>1)的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼(Eratosthenes,约公元前274~194年)发明的,又称埃拉托斯特尼筛子。
具体做法是:先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数,也不是合数,要划去。第二个数2是质数留下来,而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3,把3留下,再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5,把5留下,再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去,就会把不超过N的全部合数都筛掉,留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上,每要划去一个数,就在上面记以小点,寻求质数的工作完毕后,这许多小点就像一个筛子,所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”,简称“筛法”。(另一种解释是当时的数写在纸草上,每要划去一个数,就把这个数挖去,寻求质数的工作完毕后,这许多小洞就像一个筛子。)
用C++实现筛选法:
以通过筛选法求100以内的素数为例
#include<iostream> using namespace std; int main() { int i,j,a[101];//这里定义101大小的数组,是为了和自然数相对应,即:a[2]对应自然数2 for(i=2;i<100;i++) a[i]=1;//完成对数组的初始化操作 for(i=2;i<100;i++){ for(j=2*i;j<100;j+=i){ a[j]=0;//对相应的倍数进行排除 } } //执行输出操作 for(i=2;i<100;i++){ if(a[i]) cout<<i<<'\t'; } cout<<endl; return 0; }
一些思考和优化
以前学习计算素数的算法的时候,有一个比较普遍的优化的算法。
也就是用
for(i=1;i<(j/2);i++)或者
for(i=1;i<sqrt(j);i++)//使用sqrt()函数需要引入math.h这个头文件
来替代
for(i=1;i<j;i++)
可以显著的降低算法的复杂度
一开始直接使用,不知道是什么原理。后来看了看,原来原理是这样的:
以sqrt(j)代替i为例
求素数最基本的方法,是用i去除以2到j-1之间的所有的整数,如果有可以整除的情况,则不是素数;如果都不可以整除,则是素数。
而i=sqrt(j)*sqrt(j)
我们用i去除以2到sqrt(j)之间的所有的整数,这就可以覆盖2到i-1之间的所有的整数。
设2<k<sqrt(j),则若j%k==0,则sqrt(j)<m=(j%k)<j-1。
也就是说,因为是除法运算求整除的运算,所以除以小的可以整除,可就是除以相应的大的可以整除。
优化之后的代码:
#include<iostream> #include<math.h> using namespace std; int main() { int i,j,a[101];//这里定义101大小的数组,是为了和自然数相对应,即:a[2]对应自然数2 for(i=2;i<100;i++) a[i]=1;//完成对数组的初始化操作 for(i=2;i<sqrt(100);i++){ for(j=2*i;j<100;j+=i){ a[j]=0;//对相应的倍数进行排除 } } //执行输出操作 for(i=2;i<100;i++){ if(a[i]) cout<<i<<'\t'; } cout<<endl; return 0; }