图的基本算法(最小生成树)
假设以下情景,有一块木板。板上钉上了一些钉子。这些钉子能够由一些细绳连接起来。假设每一个钉子能够通过一根或者多根细绳连接起来。那么一定存在这种情况,即用最少的细绳把全部钉子连接起来。
更为实际的情景是这种情况。在某地分布着N
个村庄。如今须要在N
个村庄之间修路,每一个村庄之前的距离不同,问怎么修最短的路,将各个村庄连接起来。
以上这些问题都能够归纳为最小生成树问题,用正式的表述方法描写叙述为:给定一个无方向的带权图G=(V, E)
,最小生成树为集合T
, T
是以最小代价连接V
中全部顶点所用边E
的最小集合。 集合T
中的边能够形成一颗树。这是由于每一个节点(除了根节点)都能向上找到它的一个父节点。
解决最小生成树问题已经有前人开道,Prime
算法和Kruskal
算法。分别从点和边下手攻克了该问题。
Prim算法
Prim
算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930
年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník
)发现。并在1957
年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim
)独立发现。1959
年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。
Prim
算法从随意一个顶点開始,每次选择一个与当前顶点集近期的一个顶点,并将两顶点之间的边增加到树中。
Prim
算法在找当前近期顶点时使用到了贪婪算法。
算法描写叙述:
1. 在一个加权连通图中,顶点集合V
。边集合为E
2. 随意选出一个点作为初始顶点,标记为visit
,计算全部与之相连接的点的距离,选择距离最短的,标记visit
.
3. 反复以下操作,直到全部点都被标记为visit
:
在剩下的点钟。计算与已标记visit
点距离最小的点,标记visit
,证明增加了最小生成树。
以下我们来看一个最小生成树生成的过程:
1 起初,从顶点a
開始生成最小生成树
2 选择顶点a
后,顶点啊置成visit
(涂黑),计算周围与它连接的点的距离:
3 与之相连的点距离分别为7
,6
,4
,选择C
点距离最短,涂黑C
,同一时候将这条边高亮增加最小生成树:
4 计算与a,c
相连的点的距离(已经涂黑的点不计算),由于与a
相连的已经计算过了,仅仅须要计算与c
相连的点,假设一个点与a,c
都相连。那么它与a
的距离之前已经计算过了,假设它与c的距离更近。则更新距离值。这里计算的是未涂黑的点距离涂黑的点的近期距离,非常明显,b
和a
为7
,b
和c
的距离为6
。更新b
和已訪问的点集距离为6
,而f
,e
和c
的距离各自是8
,9
,所以还是涂黑b
,高亮边bc
:
5 接下来非常明显。d
距离b
最短。将d
涂黑。bd
高亮:
6 f
距离d
为7
,距离b
为4
。更新它的最短距离值是4
。所以涂黑f
,高亮bf
:
7 最后仅仅有e
了:
针对如上的图,代码实比例如以下:
#include<iostream>
#define INF 10000
using namespace std;
const int N = 6;
bool visit[N];
int dist[N] = { 0, };
int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF}, //INF代表两点之间不可达
{7,INF,6,2,INF,4},
{4,6,INF,INF,9,8},
{INF,2,INF,INF,INF,7},
{INF,INF,9,INF,INF,1},
{INF,4,8,7,1,INF}
};
int prim(int cur)
{
int index = cur;
int sum = 0;
int i = 0;
int j = 0;
cout << index << " ";
memset(visit, false, sizeof(visit));
visit[cur] = true;
for (i = 0; i < N; i++)
dist[i] = graph[cur][i];//初始化。每一个与a邻接的点的距离存入dist
for (i = 1; i < N; i++)
{
int minor = INF;
for (j = 0; j < N; j++)
{
if (!visit[j] && dist[j] < minor) //找到未訪问的点中,距离当前最小生成树距离最小的点
{
minor = dist[j];
index = j;
}
}
visit[index] = true;
cout << index << " ";
sum += minor;
for (j = 0; j < N; j++)
{
if (!visit[j] && dist[j]>graph[index][j]) //运行更新,假设点距离当前点的距离更近,就更新dist
{
dist[j] = graph[index][j];
}
}
}
cout << endl;
return sum; //返回最小生成树的总路径值
}
int main()
{
cout << prim(0) << endl;//从顶点a開始
return 0;
}
Kruskal算法
Kruskal是还有一个计算最小生成树的算法,其算法原理例如以下。首先,将每一个顶点放入其自身的数据集合中。然后,依照权值的升序来选择边。当选择每条边时,推断定义边的顶点是否在不同的数据集中。假设是,将此边插入最小生成树的集合中,同一时候。将集合中包括每一个顶点的联合体取出。假设不是。就移动到下一条边。反复这个过程直到全部的边都探查过。
以下还是用一组图示来表现算法的过程:
1 初始情况,一个联通图,定义针对边的数据结构,包括起点,终点。边长度:
typedef struct _node{
int val; //长度
int start; //边的起点
int end; //边的终点
}Node;
2 在算法中首先取出全部的边,将边依照长短排序,然后首先取出最短的边,将a
,e
放入同一个集合里,在实现中我们使用到了并查集的概念:
3 继续找到第二短的边,将c
, d
再放入同一个集合里:
4 继续找。找到第三短的边ab
,由于a
,e
已经在一个集合里。再将b
增加:
5 继续找,找到b
,e
。由于b
,e
已经同属于一个集合,连起来的话就形成环了。所以边be
不增加最小生成树:
6 再找,找到bc
,由于c
,d
是一个集合的。a
,b
,e
是一个集合。所以再合并这两个集合:
这样全部的点都归到一个集合里,生成了最小生成树。
依据上图实现的代码例如以下:
#include<iostream>
#define N 7
using namespace std;
typedef struct _node{
int val;
int start;
int end;
}Node;
Node V[N];
int cmp(const void *a, const void *b)
{
return (*(Node *)a).val - (*(Node*)b).val;
}
int edge[N][3] = { { 0, 1, 3 },
{ 0, 4, 1 },
{ 1, 2, 5 },
{ 1, 4, 4 },
{ 2, 3, 2 },
{ 2, 4, 6 },
{ 3, 4, 7}
};
int father[N] = { 0, };
int cap[N] = {0,};
void make_set() //初始化集合,让全部的点都各成一个集合。每一个集合都仅仅包括自己
{
for (int i = 0; i < N; i++)
{
father[i] = i;
cap[i] = 1;
}
}
int find_set(int x) //推断一个点属于哪个集合,点假设都有着共同的祖先结点,就能够说他们属于一个集合
{
if (x != father[x])
{
father[x] = find_set(father[x]);
}
return father[x];
}
void Union(int x, int y) //将x,y合并到同一个集合
{
x = find_set(x);
y = find_set(y);
if (x == y)
return;
if (cap[x] < cap[y])
father[x] = find_set(y);
else
{
if (cap[x] == cap[y])
cap[x]++;
father[y] = find_set(x);
}
}
int Kruskal(int n)
{
int sum = 0;
make_set();
for (int i = 0; i < N; i++)//将边的顺序按从小到大取出来
{
if (find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end)) //假设改变的两个顶点还不在一个集合中,就并到一个集合里。生成树的长度加上这条边的长度
{
Union(V[i].start, V[i].end); //合并两个顶点到一个集合
sum += V[i].val;
}
}
return sum;
}
int main()
{
for (int i = 0; i < N; i++) //初始化边的数据,在实际应用中可依据详细情况转换而且读取数据,这边仅仅是測试用例
{
V[i].start = edge[i][0];
V[i].end = edge[i][1];
V[i].val = edge[i][2];
}
qsort(V, N, sizeof(V[0]), cmp);
cout << Kruskal(0)<<endl;
return 0;
}