Floyd-Warshall 算法-- 最短路径(适合节点密集的图)
由于此算法时间复杂度为O(V³)。大多数情况下不如迪杰斯特拉算法的。迪杰斯特拉算法适合于节点疏散的图。
演示样例图例如以下:
Step 1 创建节点与边的最短路径结果表(直接可达关系)。数值表示距离。INF表示不可达
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0 | 8 | INF | 1 |
2 | INF | 0 | 1 | INF |
3 | 4 | INF | 0 | INF |
4 | INF | 2 | 9 | 0 |
Step2 找出全部经过1的路径。更新两点间的最短路径
经过1的路径即全部入度和出度路径的组合,总数为入度×出度:
经过1路径为:
第一条,3-1-2
眼下MIN(3->2)为INF,而MIN(3->1->2)=4+8=12 因此MIN(3->2)为12,由于2有更新,故要递归更新全部从3到2可达点的最短路径。而2可达点仅仅有3,MIN(3->3)为0,因此不须要更新。
第二条,3-1-4
眼下MIN(3->4)为INF,而MIN(3->1->4)=4+1=5,因此MIN(3->4)为5,由于4有更新,故要递归更新全部从3到4的全部可达点的最短路径,而4的可达点为3和2:
MIN(3->3)=0,MIN(3->2)=MIN(3->1->2)=12 > MIN(3->1->4->2)= 7。因此MIN(3->2)=7
找出全部经过1路径的结果为:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0 | 8 | INF | 1 |
2 | INF | 0 | 1 | INF |
3 | 4 | 7 | 0 | 5 |
4 | INF | 2 | 9 | 0 |
Step3 找出全部经过2的路径
第1条,1->2->3
由于MIN(1->3)为INF,而MIN(1->2->3)为9。因此MIN(1->3)为9,由于3有更新,所以须要递归更新全部从1到3可达点的最短路径,由于3的可达点为1,而MIN(1->1)不须要更新,为0。如今看第二条路径:
第二条。4->2->3
因此MIN(4->3)为9,而MIN(4->2->3)为3。因此MIN(4->3)=3,由于3有更新,须要递归更新从4到3可达点的最短路径,由于3的可达点为1,而MIN(4->1)为INF,MIN(4->2->3->1)为7。因此MIN(4->1)为7。由于1有更新,继续递归,1的可达点为4和2,MIN(4->4)保持0;眼下MIN(4->2)为2,而MIN(4->2->3->1->2)=2+1+4+8=15大于2。因此不须要更新。
找出全部经过2的路径后,结果为:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0 | 8 | 9 | 1 |
2 | INF | 0 | 1 | INF |
3 | 4 | 7 | 0 | 5 |
4 | 7 | 2 | 3 | 0 |
Step4 找出全部经过3的路径
第1条。4->3->1
MIN(4->1)为7。而MIN(4->3->1)为13。因此不须要更新
第二条,2->3->1
由于MIN(2->1)为INF,而MIN(2->3->1)为5。因此须要更新MIN(2->1)为5。
由于更新了1,因此须要更新全部从2到1可达点的路径,1的可达点为4和2,MIN(2->2)不须要更新;眼下MIN(2->4)为INF。而MIN(2->3->1->4)为6。因此MIN(2->4)为6。由于更新了4,因此须要递归更新从2到4可达点的路径,4可达点为2和3,MIN(2->2)为0;MIN(2->3)为1小于MIN(2->3->1->4->3)=1+4+1+9=15。故也不须要更新。
所以经过这一步,结果表为:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0 | 8 | 9 | 1 |
2 | 5 | 0 | 1 | 6 |
3 | 4 | 7 | 0 | 5 |
4 | 7 | 2 | 3 | 0 |
最后,找出经过4的路径。
第一条。1->4->2
MIN(1->2)为8,而MIN(1->4->2)为3,因此MIN(1->2)更新为3,由于更新了2。故须要更新全部从1到2可达点的最短路径,2的可达点为3。MIN(1->3)眼下为9。而MIN(1->4->2->3)为4,因此MIN(1->3)更新为4。由于更新了3。故递归更新全部从1到3可达点的最短路径,3的可达点为1,而MIN(1->1)不须要更新保持为0。
第二条,1->4->3
MIN(1->3)为4,而MIN(1->4->3)为10。因此不须要更新。
所以终于结果为:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0 | 3 | 4 | 1 |
2 | 5 | 0 | 1 | 6 |
3 | 4 | 7 | 0 | 5 |
4 | 7 | 2 | 3 | 0 |