贪心算法总结

                                       贪心算法总结

一、算法思想
贪心法的基本思路：
从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。

该算法存在问题：
1. 不能保证求得的最后解是最佳的。
2. 不能用来求最大或最小解问题；
3. 仅仅能求满足某些约束条件的可行解的范围。
实现该算法的过程：
从问题的某一初始解出发；
while 能朝给定总目标前进一步；
求出可行解的一个解元素；
由所有解元素组合成问题的一个可行解；

二、ACM做题情况
本专题，学习贪心算法，所给的18道题中仅仅AC了14道（当中还有两题同样）。除了几道水题以外。大部分题目是用到贪心算法来解决的，做了这套题，尽管感觉非常困难，但想办法还是能AC几道题的，做过这些题目使我对贪心算法印象加深，没有曾经感觉那么抽象，算是有进步吧，但还是不熟练，还须要加强训练。

简短截说。还是在复习回想一下，关于贪心算法的经典题目吧。

三、典型例题分类分析

【背包问题】

给定一个载重量为M的背包。考虑n个物品，当中第i个物品的重量 ，价值wi （1≤i≤n），要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大。
有两类背包问题（依据物品能否够切割）。假设物品不能够切割，称为0—1背包问题（动态规划）。假设物品能够切割，则称为背包问题（贪心算法）。

有3种方法来选取物品：
（1）当作0—1背包问题。用动态规划算法，获得最优值220；
（2）当作0—1背包问题。用贪心算法。按性价比从高究竟顺序选取物品，获得最优值160。

因为物品不可切割。剩下的空间白白浪费。
（3）当作背包问题。用贪心算法。按性价比从高究竟的顺序选取物品，获得最优值240。

因为物品能够切割，剩下的空间装入物品3的一部分。而获得了更好的性能。

struct bag{
    int w;          //物品的重量
    int v;          //物品的价值
    double c;       //性价比
}a[1001];           //存放物品的数组

排序因子（按性价比降序）：
bool cmp(bag a, bag b){
    return a.c >= b.c;
}

//形參n是物品的数量，c是背包的容量M，数组a是按物品的性价比降序排序
double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
　　double cleft = c;　　　　　　　　//背包的剩余容量
　　int i = 0;
　　double b = 0;　　　　　　　　　　//获得的价值
　　//当背包还能全然装入物品i
　　while(i<n && a[i].w<cleft)
　　{
　　　　cleft -= a[i].w;
　　　　b += a[i].v;
　　　　i++;
　　}
　　//装满背包的剩余空间
　　if (i<n) b += 1.0*a[i].v*cleft/a[i].w;
　　return b;
}

假设要获得解向量，则须要在数据结构中增加物品编号：
struct bag{
    int w;
    int v;
    double x;       //装入背包的量。0≤x≤1
    int index;      //物品编号
    double c;
}a[1001];

double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
　　double cleft = c;
　　int i = 0;
　　double b = 0;
　　while(i<n && a[i].w<=cleft)
　　{
　　　　cleft -= a[i].w;
　　　　b += a[i].v;
　　　　//物品原先的序号是a[i].index，所有装入背包
　　　　a[a[i].index].x = 1.0;
　　　　i++;
　　}
　　if (i<n)　{
　　　　a[a[i].index].x = 1.0*cleft/a[i].w;
　　　　b += a[a[i].index].x*a[i].v;
　　}
　　return b;
}

【找零钱问题】

问题描写叙述：
当前有面值分别为2角5分，1角。5分，1分的硬币，请给出找n分钱的最佳方案（要求找出的硬币数目最少）
问题分析：
依据常识，我们到店里买东西找钱时。老板总是先给我们最大面值的，要是不够再找面值小一点的，直到找满为止。假设老板都给你找分数的或者几角的。那你肯定不干。另外，他也可能没有那么多零碎的钱给你找。事实上这就是一个典型的贪心选择问题。

问题的算法设计与实现：
先举个样例。假如老板要找给我99分钱，他有上面的面值分别为25，10，5。1的硬币数，为了找给我最少的硬币数，那么他是不是该这样找呢。先看看该找多少个25分的。 99／25＝3。好像是3个，要是4个的话，我们还得再给老板一个1分的。我不干。那么老板仅仅能给我3个25分，因为还少给我24，所以还得给我2个10分的和4个1分。

详细实现伪代码

//找零钱算法 
//By falcon 
//输入：数组m，依次存放从大到小排列的面值数。n为须要找的钱数，单位所有为分 
//输出：数组num，对比数组m中的面值存放不同面值的硬币的个数。即找钱方案
比方要找N分钱。先拿N除最大零钱面值，能够取模得出余数。 
当然取整就是所找的最大面值零钱的个数。 
所得余数再次处理，用的是一个循环结构。 
N输入取值 
M是定义的面值M[0]是最大面值 
K是一个数组，存储各面值零钱的个数 
i=0 
do while (N>0) 
K[0]=int(N/M[i]) 
N=mod(N,M[i]) 
i++ 
end do

【钓鱼问题】

问题描写叙述：
约翰有h（1≤h≤16）个小时的时间，在该地区有n（2≤n≤25）个湖，这些湖刚好分布在一条路线上，该路线是单向的。约翰从湖1出发，他能够在任一个湖结束钓鱼。

但他仅仅能从一个湖到达还有一个与之相邻的湖，并且不必每一个湖都停留。

假设湖i（i＝1～n—1），以5分钟为单位，从湖i到湖i＋1须要的时间用ti（0＜ti≤192）表示。比如t3＝4，是指从湖3到湖4须要花20分钟时间。
已知在最初5分钟。湖i估计钓到鱼的数量为fi（fi≥0）。以后每隔5分钟，估计钓到鱼的数量将以常数di（di≥0）递减。

假设某个时段估计钓到鱼的数量小于或等于di，那么在下一时段将钓不到鱼。为简单起见，假设没有其他的钓鱼者影响约翰的钓鱼数量。
编敲代码，帮助约翰制定钓鱼旅行的计划，以便尽可能多的钓到鱼。
问题要求：
输入
对每组測试例。第一行是n，接下来一行是h。以下一行是n个整数fi（1≤i≤n）。然后是一行n个整数di（1≤i≤n），最后一行是n—1个整数ti（1≤i≤n—1）。
输入
对每组測试例。第一行是n，接下来一行是h。以下一行是n个整数fi（1≤i≤n）。然后是一行n个整数di（1≤i≤n）。最后一行是n—1个整数ti（1≤i≤n—1）。

对每一个測试例，输出在每一个湖上花费的时间。这是约翰要实现钓到最多的鱼的计划（必须使整个计划在同一行输出）。接下来一行是钓到的鱼的数量。

（假设存在非常多方案。尽可能选择在湖1钓鱼所耗费的时间。即使有些时段没有钓到鱼；假设还是无法区分，那就尽可能选择在湖2钓鱼所耗费的时间，以此类推。）
问题分析：
1）数据结构
每一个湖估计钓到鱼的数量，定义为数组：#define NUM 30
int f[NUM];
每一个湖估计钓到鱼的数量的递减值，定义为数组：
int d[NUM];
相邻湖之间的旅行时间，定义为数组：
int t[NUM];
钓鱼计划，定义为数组：
int plan[NUM];
湖的个数n，用于钓鱼的时间h，尽可能多的钓鱼数量best。
2）枚举在随意一个湖结束钓鱼时的最优钓鱼计划
首先把用于钓鱼的时间h，由小时转换为以5分钟为单位的时间：h=h×60/5;
这样把钓5分钟鱼的时间称为钓一次鱼。因为约翰从湖1出发。能够在任一个湖结束钓鱼，要得到最优解，就须要进行搜索。
3）採用贪心策略，每次选择鱼最多的湖钓一次鱼
对于每一个湖来说，因为在不论什么时候鱼的数目仅仅和约翰在该湖里钓鱼的次数有关，和钓鱼的总次数无关，所以这个策略是最优的。一共能够钓鱼time次，每次在n个湖中选择鱼最多的一个湖钓鱼。
採用贪心算法构造约翰的钓鱼计划。
能够觉得约翰能从一个湖“瞬间转移”到还有一个湖，即在随意一个时刻都能够从湖1到湖pos中任选一个钓一次鱼。

过程实现代码：

//从湖1起到湖pos止，花费时间time（不含路程）的钓鱼计划
void greedy(int pos, int time)
{ 
　　if (time <= 0) return; //时间已经用完
　　int i, j;
　　int fish[MAXN];
　　int p[MAXN];
　　int t = 0; 
　　for (i = 0; i < pos; ++i) 
　　　　fish[i] = f[i]; 
　　memset(p, 0, sizeof(p)); 
　　……
}

//在时间time内，选择鱼最多的湖钓鱼；假设鱼都没有了，就把时间放在湖1上
for (i = 0; i < time; ++i)
{ 
　　int max = 0;      //鱼最多的湖中，鱼的数量
　　int id = -1;　　　　　//鱼最多的湖的编号
　　//查找鱼最多的湖中。鱼的数量和湖的编号
　　for (j = 0; j < pos; ++j)
　　　　if (fish[j] > max){ 
　　　　　　max = fish[j]; 
　　　　　　id = j; 
　　　　} 
　　if (id != -1) 　　　　　//找到了，进行钓鱼处理
　　{
　　　　++p[id]; 
　　　　fish[id] -= d[id]; 
　　　　t += max; 
　　}
　　//没有找到（从湖1起到湖pos所有钓完了），就把时间放在湖1上
　　else ++p[0]; 
} 

//处理最优方案
if (t > best)
{ 
　　best = t; 　　　　　　　　//最优值
　　memset(plan, 0, sizeof(plan));
　　for (i = 0; i < pos; ++i) 　//最优解
　　　　plan[i] = p[i]; 
}

输出钓鱼计划时。再把5乘回去。就变成实际的钓鱼时间（分钟）：
for (i=0; i<n-1; ++i) 
    printf("%d, ", plan[i] * 5);
printf("%d\n", plan[n-1] * 5); 
printf("Number of fish expected: %d\n", best);

实现代码：

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
struct data {
       int f,d,id;
}a[30],b;
int n,t,tran[30],x,ans,maxi,save[30],tmp[30],tt;
priority_queue <data> q;
bool operator<(data a,data b) {
     if (a.f==b.f) return a.id>b.id;
     else return a.f<b.f;
}
int main() {
    while (~scanf("%d",&n)) {
          if (n==0) break;
          scanf("%d",&t);
          t *= 12;
          for (int i=1;i<=n;i++)
              scanf("%d",&a[i].f);
          for (int i=1;i<=n;i++) {
              scanf("%d",&a[i].d);
              a[i].id = i;
          }
          tran[1] = 0;
          for (int i=2;i<=n;i++) {
              scanf("%d",&x);
              tran[i] = tran[i-1] + x;
          }
          ans = -1;
          memset(save,0,sizeof(save));
          for (int i=1;i<=n;i++) {
              maxi = 0;
              memset(tmp,0,sizeof(tmp));
              tt = t - tran[i];
              while (!q.empty()) q.pop();
              for (int j=1;j<=i;j++)
                  q.push(a[j]);
          while (tt>0) {
                    b = q.top();
                    q.pop();
                    tt--;
                    maxi += b.f;
                    tmp[b.id]++;
                    b.f -= b.d;
                    if (b.f<=0) b.f = 0;
                    q.push(b);
              }
          if (maxi>ans) {
                            ans = maxi;
                            for (int j=1;j<=i;j++)
                                save[j] = tmp[j];
              }
          }

          for (int i=1;i<n;i++)
              printf("%d, ",save[i]*5);
          printf("%d\n",save[n]*5);
          printf("Number of fish expected: %d\n\n",ans);
    }
    return 0;
}