hdu1542 Atlantis(矩阵面积的并）

这个题算是我的第一个扫描线的题，扫描线算是一种思想吧，用到线段树+离散化。感觉高大上。

主要参考了这位大神的博客。

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/15/2640870.html

HDU1542 Atlantis(线段树:扫描线)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1542

分析:

       首先假设有下图两个矩阵,我们如果用扫描线的方法如何计算它们的总面积呢?

首先我们将矩形的上下边分为上位边(即y坐标大的那条平行于x轴的边),和下位边(y坐标小的平行于x轴的边).然后我们把所有矩形的上下位边按照他们y坐标从小到大排序,可以得到4条扫描线:

又因为上面2个矩形有4个不同的浮点数x坐标,所以我们需要把x坐标离散化,这样才能用线段树来维护信息.所以我们这样离散化:

 

由上图可知,4个不同的x坐标把x轴分成了3段有效的区间.这里要注意我们线段树中每个叶节点(控制区间[L,L])不是指X[L]坐标,而是指区间[X[L],X[L+1]].线段树中其他节点控制的区间[L,R],也是指的x坐标轴的第L个区间到第R个区间的范围,也就是X[L]到X[R+1]坐标的范围.

然后我们Y坐标从小到大的顺序读入每条扫描线,并维护当前我们所读入的所有扫描线能有效覆盖X轴的最大长度sum[1].这里特别要注意如果我们读入的扫描线是矩形的下位边,那么我们就使得该范围的标记cnt位+1,如果是上位边,那么该范围的cnt就-1.所以如果cnt=0时,表示该节点控制的范围没有被覆盖,只要cnt!=0 就表示该节点控制的几块区间仍然被覆盖.

下面依次读入每条矩阵边,来一一分析,首先是读入第一条矩阵边:

 

我们读入了矩形1的下位边,那么该区域的cnt就+1=1了,所以该区域[10,20]就被覆盖了,然后可以推出整个区域被覆盖的长度是10.再根据第二条扫描线离第一条扫描线的高度差为5.所以不管你第二条扫描线是哪个矩形的什么边,或者能覆盖到X轴的什么范围,我上图中蓝色的矩形面积肯定是要算到总面积里面去的.即总面积ret+=sum[1]*(扫描线2的高度-扫描线1的高度). (想想看是不是这样).

下面读第二条扫描线:

由于第二条扫描线也是下位边,所以[15,20]和[20,25]的cnt+1.使得我们覆盖的范围变成了[10,25]了,并且第3条扫描线在20高度,所以这次我们必然增加的面积是上面深蓝色的长条=sum[1]*(扫描线3的高度-扫描线2的高度).

下面我们要读第三条扫描线了:

由于第三条扫描线是区间[10,20]的上位边,所以对应区间的cnt要-1,所以使得区间[10,15]的cnt=0了,而[15,20]区间的cnt-1之后变成了1.[20,25]的cnt仍然为1,不变.所以当前覆盖的有效x轴长度为10,即区间[15,25].所以增加的面积是图中褐色的部分.

到此,矩形的面积和就算出来了.由于对于任一矩形都是先读下位边(cnt+1),再读上位边(cnt-1)的,所以在更新线段树的过程中,任意节点的cnt都是>=0的.

 

贴一下xj学长的代码吧。（主要有注释）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define LL __int64
#define lson l, mid, 2*rt
#define rson mid+1, r, 2*rt+1
const int maxn = 200+10;
using namespace std;
int n;
double y[maxn];
struct node
{
    int l, r, c;  //l, r记录左右节点，c记录覆盖情况
    double cnt, lf, rf; //cnt记录这一段当前的长度，lf,rf记录这一段实际的边界
}tr[4*maxn];
struct Line
{
    double x, y1, y2; //x记录该段x坐标，y1,y2记录该段投影的y边界
    int f;
}line[maxn]; //记录在y轴上的投影,f=1表示线段的开始，f=-1表示线段的结束
bool cmp(Line a, Line b)
{
    return a.x < b.x;
}
void build(int l, int r, int rt)
{
    tr[rt].l = l; tr[rt].r = r;
    tr[rt].cnt = tr[rt].c = 0;
    tr[rt].lf = y[l]; tr[rt].rf = y[r];  //相当于离散化，把实际左右坐标离散成l，r
    if(l+1==r) return;
    int mid = (l+r)/2;
    build(l, mid, 2*rt);
    build(mid, r, 2*rt+1);  //注意是mid,不是mid+1，因为要所有段覆盖
}
void calen(int rt)
{
    if(tr[rt].c>0)  //如果这段被覆盖，就更新这段的长度为实际长度
    {
        tr[rt].cnt = tr[rt].rf-tr[rt].lf;
        return;
    }
    if(tr[rt].l+1==tr[rt].r) tr[rt].cnt = 0; //如果这段被撤销，而且是最后的就把长度变为0
    else tr[rt].cnt = tr[2*rt].cnt+tr[2*rt+1].cnt; //如果被撤销但不是最后的，就加一下左右
}
void update(int rt, Line e) //加入或者减去一条线段后的更新
{
    if(e.y1==tr[rt].lf && e.y2==tr[rt].rf)
    {
        tr[rt].c += e.f;  //改变覆盖情况
        calen(rt);
        return;
    }
    if(e.y2<=tr[2*rt].rf) update(2*rt, e);
    else if(e.y1>=tr[2*rt+1].lf) update(2*rt+1, e);
    else  //跨区间的情况
    {
        Line tmp = e;
        tmp.y2 = tr[2*rt].rf;
        update(2*rt, tmp);
        tmp = e;
        tmp.y1 = tr[2*rt+1].lf;
        update(2*rt+1, tmp);
    }
    calen(rt);
}
int main()
{
    int i, ca=1, cnt;
    double x1, x2, y1, y2, ans;
    while(~scanf("%d", &n)&&n)
    {
        cnt = 1; ans = 0;
        for(i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2);
            line[cnt].x = x1; line[cnt].y1 = y1;
            line[cnt].y2 = y2; line[cnt].f = 1;
            y[cnt++] = y1;
            line[cnt].x = x2; line[cnt].y1 = y1;
            line[cnt].y2 = y2; line[cnt].f = -1;
            y[cnt++] = y2;
        }
        cnt--;
        sort(line+1, line+cnt+1, cmp);  //按x从小到大排序
        sort(y+1, y+cnt+1); //按照y排序
        build(1, cnt, 1);

        update(1, line[1]);
        for(i = 2; i <= cnt; i++)
        {
            ans += tr[1].cnt*(line[i].x-line[i-1].x); //tr[1].cnt记录全段中当前覆盖的值
            update(1, line);
        }
        printf("Test case #%d\n", ca++);
        printf("Total explored area: %.2lf\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

感觉这代码好棒。

 暑假学的，好久没看又忘了，又重新写了一遍，怎么说这题都是我扫描线第一发。

一篇介绍扫描线很好的博客。（http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2013/04/12/3016765.html）

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define N 210
using namespace std;
struct Line
{
    double x1,x2,y;
    int f;
} line[N];
struct node
{
    double lf,rf,cnt;
    int l,r,c;
} q[4*N];
int n,tt;
double X[N];
void add(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    line[tt].x1=x1;
    line[tt].x2=x2;
    line[tt].y=y1;
    X[tt]=x1;
    line[tt++].f=1;
    line[tt].x1=x1;
    line[tt].x2=x2;
    line[tt].y=y2;
    X[tt]=x2;
    line[tt++].f=-1;
}
bool cmp(Line a,Line b)
{
    return a.y<b.y;
}
void build(int l,int r,int rt)
{
    q[rt].l=l;
    q[rt].r=r;
    q[rt].cnt=q[rt].c=0;
    q[rt].lf=X[l];
    q[rt].rf=X[r];
    if(l+1==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,rt<<1);
    build(mid,r,rt<<1|1);
}
void calen(int rt)
{
    if(q[rt].c>0)
    {
        q[rt].cnt=q[rt].rf-q[rt].lf;
        return ;
    }
    if(q[rt].l+1==q[rt].r) q[rt].cnt=0;
    else q[rt].cnt=q[rt<<1].cnt+q[rt<<1|1].cnt;
}
void update(Line e,int rt)
{
    if(e.x1<=q[rt].lf&&e.x2>=q[rt].rf)
    {
        q[rt].c+=e.f;
        calen(rt);
        return ;
    }
    if(e.x2<=q[rt<<1].rf) update(e,rt<<1);
    else if(e.x1>=q[rt<<1|1].lf) update(e,rt<<1|1);
    else
    {
        Line tmp=e;
        tmp.x2=q[rt<<1].rf;
        update(tmp,rt<<1);
        tmp=e;
        tmp.x1=q[rt<<1|1].lf;
        update(tmp,rt<<1|1);
    }
    calen(rt);
}
int main()
{
    int K=0;
    double x1,x2,y1,y2;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0)
    {
        tt=1;
        printf("Test case #%d\n",++K);
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2);
            add(x1,y1,x2,y2);
        }
        sort(X+1,X+tt);
        sort(line+1,line+tt,cmp);
        build(1,tt-1,1);
        update(line[1],1);
        double sum=0;
        for(int i=2; i<tt; i++)
        {
            sum+=q[1].cnt*(line[i].y-line[i-1].y);
            update(line[i],1);
        }
        printf("Total explored area: %.2lf\n\n", sum);
    }
    return 0;
}