朴素贝叶斯分类
先上问题吧,我们统计了14天的气象数据(指标包括outlook,temperature,humidity,windy),并已知这些天气是否打球(play)。如果给出新一天的气象指标数据:sunny,cool,high,TRUE,判断一下会不会去打球。
table 1
outlook | temperature | humidity | windy | play |
sunny | hot | high | FALSE | no |
sunny | hot | high | TRUE | no |
overcast | hot | high | FALSE | yes |
rainy | mild | high | FALSE | yes |
rainy | cool | normal | FALSE | yes |
rainy | cool | normal | TRUE | no |
overcast | cool | normal | TRUE | yes |
sunny | mild | high | FALSE | no |
sunny | cool | normal | FALSE | yes |
rainy | mild | normal | FALSE | yes |
sunny | mild | normal | TRUE | yes |
overcast | mild | high | TRUE | yes |
overcast | hot | normal | FALSE | yes |
rainy | mild | high | TRUE | no |
这个问题可以用决策树的方法来求解,当然我们今天讲的是朴素贝叶斯法。这个一”打球“还是“不打球”是个两类分类问题,实际上朴素贝叶斯可以没有任何改变地解决多类分类问题。决策树也一样,它们都是有导师的分类方法。
朴素贝叶斯模型有两个假设:所有变量对分类均是有用的,即输出依赖于所有的属性;这些变量是相互独立的,即不相关的。之所以称为“朴素”,就是因为这些假设从未被证实过。
注意上面每项属性(或称指标)的取值都是离散的,称为“标称变量”。
step1.对每项指标分别统计:在不同的取值下打球和不打球的次数。
table 2
outlook | temperature | humidity | windy | play | |||||||||
yes | no | yes | no | yes | no | yes | no | yes | no | ||||
sunny | 2 | 3 | hot | 2 | 2 | high | 3 | 4 | FALSE | 6 | 2 | 9 | 5 |
overcast | 4 | 0 | mild | 4 | 2 | normal | 6 | 1 | TRUR | 3 | 3 | ||
rainy | 3 | 2 | cool | 3 | 1 |
step2.分别计算在给定“证据”下打球和不打球的概率。
这里我们的“证据”就是sunny,cool,high,TRUE,记为E,E1=sunny,E2=cool,E3=high,E4=TRUE。
A、B相互独立时,由:
得贝叶斯定理:
得:
又因为4个指标是相互独立的,所以
我们只需要比较P(yes|E)和P(no|E)的大小,就可以决定打不打球了。所以分母P(E)实际上是不需要计算的。
P(yes|E)*P(E)=2/9×3/9×3/9×3/9×9/14=0.0053
P(no|E)*P(E)=3/5×1/5×4/5×3/5×5/14=0.0206
所以不打球的概率更大。
零频问题
注意table 2中有一个数据为0,这意味着在outlook为overcast的情况下,不打球和概率为0,即只要为overcast就一定打球,这违背了朴素贝叶斯的基本假设:输出依赖于所有的属性。
数据平滑的方法很多,最简单最古老的是拉普拉斯估计(Laplace estimator)--即为table2中的每个计数都加1。它的一种演变是每个计数都u(0<u<1)。
Good-Turing是平滑算法中的佼佼者,有兴趣的可以了解下。我在作基于隐马尔可夫的词性标注时发现Good-Turing的效果非常不错。
对于任何发生r次的事件,都假设它发生了r*次:
nr是历史数据中发生了r次的事件的个数。
数值属性
当属性的取值为连续的变量时,称这种属性为“数值属性“。通常我们假设数值属性的取值服从正态分布。
outlook | temperature | humidity | windy | play | |||||||||
yes | no | yes | no | yes | no | yes | no | yes | no | ||||
sunny | 2 | 3 | 83 | 85 | 86 | 85 | FALSE | 6 | 2 | 9 | 5 | ||
overcast | 4 | 0 | 70 | 80 | 96 | 90 | TRUR | 3 | 3 | ||||
rainy | 3 | 2 | 68 | 65 | 80 | 70 | |||||||
64 | 72 | 65 | 95 | ||||||||||
69 | 71 | 70 | 91 | ||||||||||
75 | 80 | ||||||||||||
75 | 70 | ||||||||||||
72 | 90 | ||||||||||||
81 | 75 | ||||||||||||
sunny | 2/9 | 3/5 | mean value | 73 | 74.6 | mean value | 79.1 | 86.2 | FALSE | 6/9 | 2/5 | 9/15 | 5/14 |
overcast | 4/9 | 0/5 | deviation | 6.2 | 7.9 | deviation | 10.2 | 9.7 | TRUR | 3/9 | 3/5 |
正态分布的概率密度函数为:
现在已知天气为:outlook=overcast,temperature=66,humidity=90,windy=TRUE。问是否打球?
f(温度=66|yes)=0.0340
f(湿度=90|yes)=0.0221
yes的似然=2/9×0.0340×0.0221×3/9×9/14=0.000036
no的似然=3/5×0.0291×0.0380×3/5×9/14=0.000136
不打球的概率更大一些。
用于文本分类
朴素贝叶斯分类是一种基于概率的有导师分类器。
词条集合W,文档集合D,类别集合C。
根据(1)式(去掉分母)得文档d属于类别cj的概率为:
p(cj)表示类别j出现的概率,让属于类别j的文档数量除以总文档数量即可。
而已知类别cj的情况下词条wt出现的后验概率为:类别cj中包含wt的文档数目 除以 类别cj中包含的文档总数目 。
结束语
实践已多次证明,朴素贝叶斯在许多数据集上不逊于甚至优于一些更复杂的分类方法。这里的原则是:优先尝试简单的方法。
机器学习的研究者尝试用更复杂的学习模型来得到良好的结果,许多年后发现简单的方法仍可取得同样甚至更好的结果。
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