http://blog.csdn.net/luo123n/article/details/48239963

 

前言

这里讨论的优化问题指的是，给定目标函数f(x)，我们需要找到一组参数x，使得f(x)的值最小。

本文以下内容假设读者已经了解机器学习基本知识，和梯度下降的原理。

SGD

SGD指stochastic gradient descent，即随机梯度下降。是梯度下降的batch版本。

对于训练数据集，我们首先将其分成n个batch，每个batch包含m个样本。我们每次更新都利用一个batch的数据，而非整个训练集。即： 

xt+1=xt+Δxt

 

 

Δxt=−ηgt


其中，η为学习率，gt为x在t时刻的梯度。

 

这么做的好处在于：

  • 当训练数据太多时，利用整个数据集更新往往时间上不显示。batch的方法可以减少机器的压力，并且可以更快地收敛。
  • 当训练集有很多冗余时（类似的样本出现多次），batch方法收敛更快。以一个极端情况为例，若训练集前一半和后一半梯度相同。那么如果前一半作为一个batch，后一半作为另一个batch，那么在一次遍历训练集时，batch的方法向最优解前进两个step，而整体的方法只前进一个step。

Momentum

SGD方法的一个缺点是，其更新方向完全依赖于当前的batch，因而其更新十分不稳定。解决这一问题的一个简单的做法便是引入momentum。

momentum即动量，它模拟的是物体运动时的惯性，即更新的时候在一定程度上保留之前更新的方向，同时利用当前batch的梯度微调最终的更新方向。这样一来，可以在一定程度上增加稳定性，从而学习地更快，并且还有一定摆脱局部最优的能力： 

Δxt=ρΔxt−1−ηgt


其中，ρ 即momentum，表示要在多大程度上保留原来的更新方向，这个值在0-1之间，在训练开始时，由于梯度可能会很大，所以初始值一般选为0.5；当梯度不那么大时，改为0.9。η 是学习率，即当前batch的梯度多大程度上影响最终更新方向，跟普通的SGD含义相同。ρ 与 η 之和不一定为1。

 

Nesterov Momentum

这是对传统momentum方法的一项改进，由Ilya Sutskever(2012 unpublished)在Nesterov工作的启发下提出的。

其基本思路如下图（转自Hinton的coursera公开课lecture 6a）：

Nesterov Momentum

首先，按照原来的更新方向更新一步（棕色线），然后在该位置计算梯度值（红色线），然后用这个梯度值修正最终的更新方向（绿色线）。上图中描述了两步的更新示意图，其中蓝色线是标准momentum更新路径。

公式描述为： 

Δxt=ρΔxt−1−ηΔf(xt+ρΔxt−1)

 

Adagrad

上面提到的方法对于所有参数都使用了同一个更新速率。但是同一个更新速率不一定适合所有参数。比如有的参数可能已经到了仅需要微调的阶段，但又有些参数由于对应样本少等原因，还需要较大幅度的调动。

Adagrad就是针对这一问题提出的，自适应地为各个参数分配不同学习率的算法。其公式如下： 

Δxt=−η∑tτ=1g2τ+ϵ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√gt

 

其中gt 同样是当前的梯度，连加和开根号都是元素级别的运算。eta 是初始学习率，由于之后会自动调整学习率，所以初始值就不像之前的算法那样重要了。而ϵ是一个比较小的数，用来保证分母非0。

其含义是，对于每个参数，随着其更新的总距离增多，其学习速率也随之变慢。

Adadelta

Adagrad算法存在三个问题

  • 其学习率是单调递减的，训练后期学习率非常小
  • 其需要手工设置一个全局的初始学习率
  • 更新xt时，左右两边的单位不同一

Adadelta针对上述三个问题提出了比较漂亮的解决方案。

首先，针对第一个问题，我们可以只使用adagrad的分母中的累计项离当前时间点比较近的项，如下式： 

E[g2]t=ρE[g2]t−1+(1−ρ)g2t


Δxt=−ηE[g2]t+ϵ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√gt


这里ρ是衰减系数，通过这个衰减系数，我们令每一个时刻的gt随之时间按照ρ指数衰减，这样就相当于我们仅使用离当前时刻比较近的gt信息，从而使得还很长时间之后，参数仍然可以得到更新。

 

针对第三个问题，其实sgd跟momentum系列的方法也有单位不统一的问题。sgd、momentum系列方法中： 

Δx的单位∝g的单位∝∂f∂x∝1x的单位


类似的，adagrad中，用于更新Δx的单位也不是x的单位，而是1。

 

而对于牛顿迭代法： 

Δx=H−1tgt


其中H为Hessian矩阵，由于其计算量巨大，因而实际中不常使用。其单位为： 

Δx∝H−1g∝∂f∂x∂2f∂2x∝x的单位


注意，这里f无单位。因而，牛顿迭代法的单位是正确的。

 

所以，我们可以模拟牛顿迭代法来得到正确的单位。注意到： 

Δx=∂f∂x∂2f∂2x⇒1∂2f∂2x=Δx∂f∂x


这里，在解决学习率单调递减的问题的方案中，分母已经是∂f∂x的一个近似了。这里我们可以构造Δx的近似，来模拟得到H−1的近似，从而得到近似的牛顿迭代法。具体做法如下： 

Δxt=−E[Δx2]t−1‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√E[g2]t+ϵ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√gt

 

可以看到，如此一来adagrad中分子部分需要人工设置的初始学习率也消失了，从而顺带解决了上述的第二个问题。

各个方法的比较

Karpathy做了一个这几个方法在MNIST上性能的比较，其结论是： 
adagrad相比于sgd和momentum更加稳定，即不需要怎么调参。而精调的sgd和momentum系列方法无论是收敛速度还是precision都比adagrad要好一些。在精调参数下，一般Nesterov优于momentum优于sgd。而adagrad一方面不用怎么调参，另一方面其性能稳定优于其他方法。

实验结果图如下：

Loss vs. Number of examples seen 
Loss vs. Number of examples seen

Testing Accuracy vs. Number of examples seen 
Testing Accuracy vs. Number of examples seen

Training Accuracy vs. Number of examples seen这里写图片描述

其他总结文章

最近看到了一个很棒的总结文章，除了本文的几个算法，还总结了RMSProp跟ADAM（其中ADAM是目前最好的优化算法，不知道用什么的话用它就对了）