【算法题】天平砝码称重

总结：天平有三种状态。左边，右边，平衡，因此天平问题一般是三进制

1.用最少的砝码称出1到100克的物品

给定一个天平，用最少的砝码称出1到100克的物品，砝码重量任选

假设物品放在右边，砝码可以放在左边或者右边，那么有：放在左边砝码的重量 = 放在右边砝码的重量 + 物品的重量，即 放在左边砝码的重量 - 放在右边砝码的重量 = 物品的重量。

假设砝码放在左边用‘+’表示，放在右边用‘-’表示,ai表示单个砝码的重量。那么容易知道∑±a_i（ai取‘+’、‘-’或不取，三种情况）表示所有可能的情况。

尝试一种方案：1、3、9、27、81（为什么底数取3，因为有三种状态）

容易知道4个砝码∑±a_i最多有（3⁴ -1）/2= 40中可能的值，所以4个砝码不可能称出1到100所有的值。下面说明1、3、9、27、81的正确性。

对于3⁰、3¹、3²...3ⁿ，能够称出1~（3ⁿ⁺¹ - 1）/ 2之间的任何一个值。

数学证明（数学归纳法）：

n = 0 时能称出值 1，n=1时能称出 1~4之间的任意值

假设 n = k - 1时成立，即对于3⁰、3¹、3²...3^k-1，能够称出1到（3^k - 1）/ 2之间的任何一个值。

当n = k时，由于3⁰、3¹、3²...3^k-1，能够称出1到（3^k - 1）/ 2之间的任何一个值，所以将每个砝码在天平中的位置对换会得到-1到-（3^k - 1）/ 2，同时将3^k放在左边得到（3^k - 1）/ 2 + 1到3^k - 1，又由于3⁰、3¹、3²...3^k-1，能够称出1到（3^k - 1）/ 2之间的任何一个值，所以将3^k放在左边会得到3^k + 1到3^k + （3^k - 1）/ 2 = （3^k+1 - 1）/ 2

故当n = k时成立。

得证。

容易证明，除了1、3、9、27、81，1、3、9、27、60...80也都是可行的解