原根

阶

定义：设\(m > 1\)，且\((a,m) = 1\)，使得\(a^r \equiv 1 mod(m)\)成立的最小的\(r\)，称为\(a\)对模\(m\)的阶，记为\(\delta_m(a)\)。

定理：若\(m > 1\)，且\((a ,m) = 1\)，\(a^n \equiv 1 mod(m)\)，则\(\delta_m(a)|n\)。

原根

定义：设\(m\)是正整数，\(a\)是整数，若\(\delta_m(a) = \varphi(m)\)，则称\(a\)为模\(m\)的一个原根

定理：如果模\(m\)有原根，那么它一共有\(\varphi(\varphi(m))\)个原根

定理：若\(g\)是\(m\)的一个原根，则\(g，g^2，……，g^{\varphi(m)}\)各数对\(m\)取模的非负最小剩余就是小于\(m\)且与\(m\)互质的\(\varphi(m)\)个数的一个排列

原根存在条件

当\(m = 2，4，2P^n，P^n\)，这里的\(P\)是奇素数（除2以外的素数）,\(n\)是正整数

求原根的方法

从2开始枚举，然后暴力判断\(g^{P - 1} \equiv 1 mod(P)\)是否只有在指数为\(P - 1\)的时候成立。

bool check(int g) {
    int tp = 1;
    for (int i = 1; i < P - 1; ++i) {
        tp = 1ll * tp * g % P;
        if (tp == 1) return 0;
    }
    return false;
}
void get() {
    int g = 2;
    for (int i = 2; ; ++i) if (check(i)) {
        g = i;
        break;
    }
}

模素数求原根的方法

首先求\(\varphi(m)\)的素幂分解式：

\[\varphi(m) = p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*·····*p_k^{e_k} \]

然后枚举\(g\)，若恒满足

\[g^{\frac{\varphi(m)}{p_i}} \ne 1 mod(m)，i = 1,2,·····,k \]

则\(g\)是\(m\)的一个原根