欧拉回路---知识点详解
欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路
欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路
有向图的基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。
无向图
设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路是欧拉回路
具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图
有向图
（1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路
（2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为 有向欧拉回路
（3）具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图
定理
无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
推论
（1） 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点；
（2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路
（3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是 G为无奇度结点的连通图
（有向图） 定理
有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度相等；或者 除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1.
推论
（1）当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
（2）当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
（3）有向图D为有向欧拉图的充要条件是 D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
欧拉回路的求解
两种方法：（1）DFS搜索 （Fleury）佛罗莱算法
（1）DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。
（2） （Fleury）佛罗莱算法
设G为一个无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的算法如下：
（1） 任取G中一顶点v0，令P0=v0；
（2）假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi，按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。
ei+1与vi相关联
除非无别的边可供选择，否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时算法停止。
可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）为G中一条欧拉回路。
备注知识：
设无向图G(V,E)为连通图，若边集E1属于E，在图G中删除E1中所有的边后得到的子图是不连通的，而删除了E1的任一真子集后得到的子图是连通图，则称E1是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集，则称该边为割边，或桥
//欧拉路径的输出(此图为无向图)
#include<iostream>
using namespace std;
#define M 200
struct stack
{
int top,node[M];
}s; //顶点的栈结构
int Edge[M][M]; //邻接矩阵
int n; //顶点个数
void dfs(int x) //这里的深度优先跟标准版有所区别，即不需要回溯
{
s.top++;
s.node[s.top]=x; //将即将要扩展的结点压入栈中
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(Edge[i][x]) //如果该节点还存在边
{
Edge[i][x]=0;
Edge[x][i]=0; //删除该边，然后搜索另一结点
dfs(i);
break;
}
}
}
void Fleury(int x) //对头节点使用Fleury算法 查找欧拉路径
{
s.top=0;
s.node[s.top]=x;
while(s.top>=0)
{
int flag=0; //记录当前结点是否有边可以扩展
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(Edge[i][s.top])
{
flag=1;
break;
}
}
if(!flag)
{
cout<<s.node[s.top]+1<<" "; //记录时是从0--n-1，所以应该加1
s.top--; //结点输出了，此结点出栈
}
else
{
s.top--; //因为dfs处理时，需要先进栈，所以这里要先出栈，然后再进栈
dfs(s.node[s.top+1]); //处理那个结点
}
}
cout<<endl;
}
int main()
{
int m,s,t; //边数，读入的边的起点和终点
int degree,num,start; //每个顶点的度、基度顶点个数、欧拉回路的起点
cin>>n>>m; //n---顶点数 m---边数
memset(Edge,0,sizeof(Edge));
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>s>>t;
Edge[s-1][t-1]=1;
Edge[t-1][s-1]=1;
}
num=0;
start=0; //如果存在奇度顶点，则从奇度顶点出发，否则从顶点0出发
for(int i=0;i<n;i++)
{
degree=0;
for(int j=0;j<n;j++)
degree+=Edge[i][j];
if(degree%2)
{
num++;
start=i;
}
}
if(num==0||num==2) Fleury(start);
else cout<<"No Euler path"<<endl;
return 0;
}
