bzoj4199 [Noi2015]品酒大会

4199: [Noi2015]品酒大会

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Description

 一年一度的“幻影阁夏日品酒大会”隆重开幕了。大会包含品尝和趣味挑战两个环节,分别向优胜者颁发“首席品

酒家”和“首席猎手”两个奖项,吸引了众多品酒师参加。在大会的晚餐上,调酒师Rainbow调制了 n 杯鸡尾酒。
这 n 杯鸡尾酒排成一行,其中第 i 杯酒 (1≤i≤n) 被贴上了一个标签 s_i ,每个标签都是 26 个小写英文字母
之一。设 Str(l,r) 表示第 l 杯酒到第 r 杯酒的 r-l+1 个标签顺次连接构成的字符串。若 Str(p,po)=Str(q,qo
) ,其中 1≤p≤po≤n,1≤q≤qo≤n,p≠q,po-p+1=qo-q+1=r ,则称第 p 杯酒与第 q 杯酒是“ r 相似”的。当
然两杯“ r 相似”(r>1)的酒同时也是“ 1 相似”、“ 2 相似”、……、“ (r-1) 相似”的。在品尝环节上,
品酒师Freda轻松地评定了每一杯酒的美味度,凭借其专业的水准和经验成功夺取了“首席品酒家”的称号,其中
第 i 杯酒 (1≤i≤n) 的美味度为 a_i 。现在Rainbow公布了挑战环节的问题:本次大会调制的鸡尾酒有一个特点
,如果把第 p 杯酒与第 q 杯酒调兑在一起,将得到一杯美味度为 a_p a_q 的酒。现在请各位品酒师分别对于 r=
0,1,2,?,n-1 ,统计出有多少种方法可以选出 2 杯“ r 相似”的酒,并回答选择 2 杯“ r 相似”的酒调兑可以
得到的美味度的最大值。

Input

输入文件的第1行包含1个正整数 n ,表示鸡尾酒的杯数。
第 2 行包含一个长度为 n 的字符串 S ,其中第 i 个字符表示第 i 杯酒的标签。
第 3 行包含 n 个整数,相邻整数之间用单个空格隔开,其中第 i 个整数表示第 i 杯酒的美味度 a_i 。
n=300,000 |a_i |≤1,000,000,000

Output

输出文件包括 n 行。第 i 行输出 2 个整数,中间用单个空格隔开。

第 1 个整数表示选出两杯“ (i-1)" " 相似”的酒的方案数,
第 2 个整数表示选出两杯“ (i-1) 相似”的酒调兑可以得到的最大美味度。
若不存在两杯“ (i-1) 相似”的酒,这两个数均为 0 。

Sample Input

10
ponoiiipoi
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

Sample Output

45 56
10 56
3 32
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
【样例说明1】
用二元组 (p,q) 表示第 p 杯酒与第 q 杯酒。
0 相似:所有 45 对二元组都是 0 相似的,美味度最大的是 8×7=56 。
1 相似: (1,8) (2,4) (2,9) (4,9) (5,6) (5,7) (5,10) (6,7) (6,10) (7,10) ,最大的 8×7=56 。
2 相似: (1,8) (4,9) (5,6) ,最大的 4×8=32 。
没有 3,4,5,?,9 相似的两杯酒,故均输出 0 。
分析:这道题有两个非常神奇的做法.
   解法一:单调栈+后缀数组
   显然这道题可以用后缀数组来做.第一问的答案就是任意两个串的LCP的和. 这一问题可以用非常经典的方法:单调栈来解决.
   因为每一对后缀x,y的LCP是它们之间height数组的RMQ. 取决于它们中最小的height数组的值. 直接枚举两个端点,再来求最小的值是行不通的. 一个比较好的做法是维护每个height数组的值能够“管”哪些范围,也就是存在多少对后缀(x,y)使得x,y之间height数组的最小值是它. 可以先正着用单调栈维护一次,然后反着维护一次,分别得到左边和右边能维护到的范围. 乘起来,答案就出来了.
   对于第二问,每个height数组的元素能够“管”的范围是确定的,在左边找最小值/最大值,右边找最小值/最大值,乘起来比较大小更新答案即可. 
   这个方法特别容易错,如果height数组中有两个元素相等,并且在一起,那么就会重复统计这一对后缀. 需要做的就是从左往右维护单调栈使用<比较符号,从右往左使用<=比较符号,不容易想到. 不是很推荐这种做法.
   解法二:后缀数组+并查集
   这个方法利用的还是LCP是height数组的RMQ这个性质.如果把height数组按照从大到小排序,然后从大到小来处理,那么RMQ是已经被确定了的:就是当前的height[i],这时只要统计有多少对后缀的RMQ是它,并且维护最小值/最大值就行了.
   这其实是可以用并查集来维护的. 一开始每个height[i]对应着一个后缀sa[i]. 从大到小枚举height[i].将sa[i]与sa[i-1]合并. 因为是从大到小枚举的,所以当前的height[i]一定是sa[i]与sa[i-1]所属集合任意一对后缀之间的RMQ. 对于第一小问,直接加上这两个集合大小的乘积即可.  第二小问也挺简单的,分别维护每个集合的最小值/最大值,乘起来比较大小更新答案即可. 
   注意:读入之前要先求出sa,rk,ht数组,每次读入的是a[rk[i]]!
解法一代码:
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll maxn = 300010,inf = 9223372036854775807;
ll n,a[maxn],b[maxn],fir[maxn],sec[maxn],pos[maxn],tong[maxn],sa[maxn],rk[maxn],ht[maxn],sett[maxn];
ll cnt,minn[maxn][21],maxx[maxn][21],sta[maxn],top,Max[maxn],Min[maxn],L[maxn],sum[maxn],ans[maxn],R[maxn];
char s[maxn];

void SA_pre()
{
    int len = n;
    copy(s + 1,s + len + 1,sett + 1);
    sort(sett + 1,sett + 1 + len);
    cnt = unique(sett + 1,sett + 1 + len) - sett - 1;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        b[i] = lower_bound(sett + 1,sett + 1 + cnt,s[i]) - sett;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        tong[b[i]]++;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        tong[i] += tong[i - 1];
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        rk[i] = tong[b[i] - 1] + 1;
    for (int t = 1; t <= len; t *= 2)
    {
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            fir[i] = rk[i];
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            if (i + t > len)
                sec[i] = 0;
            else
                sec[i] = rk[i + t];
        }
        fill(tong,tong + 1 + len,0);
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[sec[i]]++;
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[i] += tong[i - 1];
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            pos[len - --tong[sec[i]]] = i;
        fill(tong,tong + 1 + len,0);
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[fir[i]]++;
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[i] += tong[i - 1];
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            int temp = pos[i];
            sa[tong[fir[temp]]--] = temp;
        }
        bool flag = true;
        int last = 0;
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            int temp = sa[i];
            if (!last)
                rk[temp] = 1;
            else if (fir[temp] == fir[last] && sec[temp] == sec[last])
            {
                rk[temp] = rk[last];
                flag = false;
            }
            else
                rk[temp] = rk[last] + 1;
            last = temp;
        }
        if (flag)
            break;
    }
    int k = 0;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        if (rk[i] == 1)
            k = 0;
        else
        {
            if (k)
                k--;
            int j = sa[rk[i] - 1];
            while (i + k <= len && j + k <= len && b[i + k] == b[j + k])
                k++;
        }
        ht[rk[i]] = k;
    }
}

void ST_pre()
{
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
        maxx[i][0] = minn[i][0] = a[i];
    for (ll j = 1; j <= 20; j++)
        for (ll i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
        {
            maxx[i][j] = max(maxx[i][j - 1],maxx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            minn[i][j] = min(minn[i][j - 1],minn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
}

ll getmin(ll l,ll r)
{
    ll t = (ll)((log(r - l + 1)) / log(2.0));
    return min(minn[l][t],minn[r - (1 << t) + 1][t]);
}

ll getmax(ll l,ll r)
{
    ll t = (ll)((log(r - l + 1)) / log(2.0));
    return max(maxx[l][t],maxx[r - (1 << t) + 1][t]);
}

void solve()
{
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        ans[i] = -inf;
    top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (top && ht[sta[top]] > ht[i])
            top--;
        if (top)
            L[i] = sta[top] + 1;
        else
            L[i] = 1;
        sta[++top] = i;
    }
    top = 0;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        while (top && ht[sta[top]] >= ht[i])
            top--;
        if (top)
            R[i] = sta[top] - 1;
        else
            R[i] = n;
        sta[++top] = i;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        sum[ht[i]] += (i - L[i] + 1) * (R[i] - i + 1);
        ll lmax = getmax(L[i] - 1,i - 1),lmin = getmin(L[i] - 1,i - 1);
        ll rmax = getmax(i,R[i]),rmin = getmin(i,R[i]);
        ans[ht[i]] = max(ans[ht[i]],max(lmax * rmax,lmin * rmin));
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%s",s + 1);
    SA_pre();
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld",&a[rk[i]]);
    ST_pre();
    solve();
    for (ll i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        sum[i] += sum[i + 1];
        ans[i] = max(ans[i + 1],ans[i]);
    }
    for (ll i = 0; i <= n - 1; i++)
        if (ans[i] == -inf)
            ans[i] = 0;
    for (ll i = 0; i <= n - 1; i++)
        printf("%lld %lld\n",sum[i],ans[i]);

    return 0;

解法二代码:

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll maxn = 300010,inf = 9223372036854775807;
ll n,a[maxn],b[maxn],fir[maxn],sec[maxn],pos[maxn],tong[maxn],sa[maxn],rk[maxn],ht[maxn],sett[maxn],mx[maxn],mn[maxn];
ll cnt,minn[maxn][21],maxx[maxn][21],sta[maxn],top,Max[maxn],Min[maxn],L[maxn],sum[maxn],ans[maxn],R[maxn];
ll fa[maxn],sizee[maxn];
char s[maxn];

struct node
{
    ll h,x;
}e[maxn];

ll find(int x)
{
    if (x == fa[x])
        return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void SA_pre()
{
    int len = n;
    copy(s + 1,s + len + 1,sett + 1);
    sort(sett + 1,sett + 1 + len);
    cnt = unique(sett + 1,sett + 1 + len) - sett - 1;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        b[i] = lower_bound(sett + 1,sett + 1 + cnt,s[i]) - sett;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        tong[b[i]]++;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        tong[i] += tong[i - 1];
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        rk[i] = tong[b[i] - 1] + 1;
    for (int t = 1; t <= len; t *= 2)
    {
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            fir[i] = rk[i];
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            if (i + t > len)
                sec[i] = 0;
            else
                sec[i] = rk[i + t];
        }
        fill(tong,tong + 1 + len,0);
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[sec[i]]++;
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[i] += tong[i - 1];
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            pos[len - --tong[sec[i]]] = i;
        fill(tong,tong + 1 + len,0);
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[fir[i]]++;
        for (int i = 1; i <= len; i++)
            tong[i] += tong[i - 1];
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            int temp = pos[i];
            sa[tong[fir[temp]]--] = temp;
        }
        bool flag = true;
        int last = 0;
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            int temp = sa[i];
            if (!last)
                rk[temp] = 1;
            else if (fir[temp] == fir[last] && sec[temp] == sec[last])
            {
                rk[temp] = rk[last];
                flag = false;
            }
            else
                rk[temp] = rk[last] + 1;
            last = temp;
        }
        if (flag)
            break;
    }
    int k = 0;
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        if (rk[i] == 1)
            k = 0;
        else
        {
            if (k)
                k--;
            int j = sa[rk[i] - 1];
            while (i + k <= len && j + k <= len && b[i + k] == b[j + k])
                k++;
        }
        ht[rk[i]] = k;
    }
}

bool cmp(node a,node b)
{
    if (a.h == b.h)
        return a.x > b.x;
    return a.h > b.h;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%s",s + 1);
    SA_pre();
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld",&a[rk[i]]);
        ans[i] = -inf;
    }
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
    {
        mx[i] = mn[i] = a[i];
        fa[i] = i;
        sizee[i] = 1;
        e[i].h = ht[i];
        e[i].x = i;
    }
    sort(e + 1,e + 1 + n,cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x = find(e[i].x),y = find(e[i].x - 1);
        sum[e[i].h] += sizee[x] * sizee[y];
        fa[y] = x;
        sizee[x] += sizee[y];
        ans[e[i].h] = max(ans[e[i].h],max(mn[x] * mn[y],mx[x] * mx[y]));
        mn[x] = min(mn[x],mn[y]);
        mx[x] = max(mx[x],mx[y]);
    }
    for (ll i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        sum[i] += sum[i + 1];
        ans[i] = max(ans[i + 1],ans[i]);
    }
    for (ll i = 0; i <= n - 1; i++)
        if (ans[i] == -inf)
            ans[i] = 0;
    for (ll i = 0; i <= n - 1; i++)
        printf("%lld %lld\n",sum[i],ans[i]);

    return 0;
}

 

posted @ 2018-03-12 19:33  zbtrs  阅读(217)  评论(0编辑  收藏  举报