bzoj2440 [中山市选2011]完全平方数

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

 

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

分析：涉及到求第k个，常见的套路是二分，求出[1,x]有多少个数是无平方因子数.直接统计效率实在是太低，但是涉及到倍数的计数题往往都可以用容斥原理来做，即用区间的数的个数-一个质数的平方的倍数的个数+2个质数的乘积的平方的倍数-3个质数的乘积的平方的倍数......很快可以发现这个-和+是有规律的，正好就相当于莫比乌斯函数μ(x).只需要看一个数对区间的贡献是多少，最后累加起来.那么枚举[1,sqrt(x)]的数，对于每一个数y，通过莫比乌斯函数就能够知道它对区间的贡献到底是正的还是负的.再把y平方一下，看有多少个数是y^2的倍数，就能进行容斥原理了.

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
ll T, n, prime[50010], tot, mo[50010], vis[50010], ans;

void init()
{
    mo[1] = 1;
    for (ll i = 2; i <= 50000; i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            mo[i] = -1;
        }
        for (ll j = 1; j <= tot; j++)
        {
            ll t = prime[j] * i;
            if (t > 50000)
                break;
            vis[t] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                mo[t] = 0;
                break;
            }
            mo[t] = -mo[i];
        }
    }
}

ll check(ll x)
{
    ll res = 0;
    for (ll i = 1; i <= sqrt(x); i++)
        res += mo[i] * (x / (i * i));
    return res;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%lld", &T);
    while (T--)
    {
        ll l = 1, r = 1644934081, ans = 1;
        scanf("%lld", &n);
        while (l <= r)
        {
            ll mid = (l + r) >> 1;
            if (check(mid) >= n)
            {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            }
            else
                l = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
}