bzoj3884 上帝与集合的正确用法

3884: 上帝与集合的正确用法

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 2462  Solved: 1093
[Submit][Status][Discuss]

Description

 

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

 

一句话题意：

 

 

Input

 

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

 

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

 

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

 

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

分析：这道题是欧拉定理的经典应用，一开始看到题面的我想到的就是找规律，可是涉及到∞，脑洞太小想不出来，但是它给定的模数是有限的，我们能不能从这个模数下手呢？

 

       我们接下来有两种思路：1.把模数越变越小，到最后直接出结果，类似于递归的过程 2.把次数的无穷化为有限，一般而言可以用欧拉定理和费马小定理，但是这道题给的模数不一定满足费马小定理的条件，欧拉定理也不一定满足，但是我们可以用欧拉定理的推论来解决.这两个思路结合起来就是本题的解.

       那么我们设答案为f(p), --图片摘自Codeplay0314的博客.

       注意边界，φ（x）= 0,当x = 1的时，因为如果x=1,显然原题是无解的.

这道题也说明了：若存在，那么也一定存在。当m=1时，存在，所以

 

对于所有正整数m,都有存在.

 

 

 

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int t, p;

long long qpow(long long a, long long b, long long mod)
{
    long long res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return res;
}

long long phi(int x)
{
    long long res = x;
    for (long long i = 2; i <= sqrt(x);i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            while (x % i == 0)
                x /= i;
            res = res / i * (i - 1);
        }
    }
    if (x > 1)
        res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

long long solve(int x)
{
    if (x == 1)
        return 0;
    long long t = phi(x);
    return qpow(2, solve(t) + t, x);
}

int main()
{
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d", &p);
        printf("%lld\n",solve(p));
    }

    return 0;
}