2017.8.8搜索课总结

1.有2 个没有刻度的杯子, 容积分别是V1、V2, 另有一个无限大
的水缸, 里面有无限多水。对这两个杯子可以进行如下操作:
1. 从水缸里往一个杯子加满水;
2. 把一个杯子里的水全部倒进水缸;
3. 从一个杯子往另一个杯子里倒水, 直到另一个杯子满
或一个杯子空为止。
现在我们需要通过一定顺序的操作, 使杯子1、杯子2或杯子
1+ 杯子2 中的水的体积是V3。
0 < V1, V2 < 2^7; 0 < V3 < 2^8

分析：这个直接bfs就行了,不过需要先处理一下，即我们先把v1,v2,v3的最大公约数给除掉，避免数据过大.

2.在古埃及, 人们使用单位分数的和(形如1/a 的, a 是自然数)
表示一切有理数。如:2/3=1/2+1/6, 但不允许2/3=1/3+1/3,
因为加数中有相同的。
• 对于一个分数a/b, 表示方法有很多种, 但是哪种最好呢?
• 首先, 加数少的比加数多的好, 其次, 加数个数相同的,最小
的分数越大越好。如19/45 分解成1/5+1/6+1/18 是最好的。
• 计算最好的表达方式。

分析：直接深搜是不行的，因为它不能保证分数使用的最少，直接宽搜也不行，因为可能会扩展出很多分数，很难保存记录下来。那么就要用到迭代加深搜索：规定一个搜索的上限，然后用dfs,如果搜到当前的上限满足要求，直接输出上限即可，这样既不会浪费过多内存也可以确保是最少的分数.不过这个算法缺点还是有的，我们每增加上限，以前搜过的就要重新搜，所以迭代加深搜索是dfs和bfs都不行时的救命稻草.当然，用IDA*也是可以的.

能用bfs或dfs时不要用.

3.地球上的科学家收到了来自外星的信号：
000023*000011=002093，科学家猜想这是某个外星人的
年龄。但有人指出，这些外星人好像不怎么聪明，因为
23*11=253，而非2093。但是科学家们发现，如果把
000011改成00091的话算式就成立了。他们认为这是接收
信号的时候出了差错的缘故。
• 现在给你这样一个算式，问最少改动几个数字就能使得算
式成立？（格式是??????*??????=??????，忽略进位）

分析：如果直接每一位枚举，要搜索10^18次，直接T啊，但是我们可以不用搜这么多位，为什么呢？我们搜乘数，然后就可以直接算出乘积，看题目给出的乘积有多少位与我们算出来的不一样的。

     这样的话还是会T,还需要剪枝，其实和noip靶形数独那道题差不多，改变一下搜索顺序就可以了，

能这样做因为这只要求给出一个答案，给出所有答案就gg了，如果要说原理的话我们可以结合靶形数独，填数独一般就是从能填最少的数的位置上填，所以这样做可以“骗”得更高分，做乘法我们一般从个位开始乘，因为乘积的个位只取决于乘数的个位，然后我们可以很快确定十位，百位，千位......

4.用关系“<”和“=”将3 个数A、B和C依序排列时有13 种
不同的序关系： A=B=C，A=B<C，A<B=C，A<B<C，
A<C<B，A=C<B，B<A=C，B<A<C，B<C<A， B=C<A，
C<A=B，C<A<B，C<B<A。
• 将n 个数（1 <= n <=10）依序排列时有多少种序关系。

分析：其实可以想到枚举字母和符号，但是这样枚举的信息实在是太多了，直接T,但是可以观察样例中第三个，第七个，第十一个，他们其实就是ABC的排列不同，也就是说我们完全可以用数学知识来搞.

     首先考虑完全都是<的情况，只有一种，然后用dp.可以发现如果是等于号连接的，不管怎么样排列都是一样的，所以我们只需要考虑组合数！（不需要考虑顺序），然后枚举符号，其实只需要强制枚举等于号的数量即可，我们强制用k个等于号，剩下的n-k个数无所谓什么符号，这样就可以用dp解决:
f(n) = ΣC(n,k)*f(n-k)  (1 <= k <= n),最后加上1即可.

5.noip2015斗地主:传送门

6.一个数字P，告诉你对这个数操作，每次只能乘X 或者
减Y，请你算算P 变成Q 需要的最小步数。

分析：可以宽搜，加上剪枝：如果P,Q符号不同，并且X>0，就不要乘了，如果P < Q,就不要减了等等.但是这样还是会有时间上的障碍，因为越往后搜到的状态就越多，呈指数级增长，这个时候我们用双向宽搜解决，从Q到P,乘x就相当于除x,减Y就相当于加Y,具体是怎么实现呢？我们每次找两个方向可以扩展的状态较少的那一方扩展即可。

7.有n个物品，m块钱，给定每个物品的价格，求买物品的方
案数。
• n<=40，m<=10^18

分析：本来可以用背包解的，可是这个m如此之大，数组都开不下啊，而且这个m绝对不能出现在复杂度中，因为就算logm也难算，况且不可能logm,所以只能出现n,那么做法就是0-1搜索了--看每一个物品到底取不取。然而这个要计算多达2^40次，如果能降到2^20就好了，那么就能想到折半搜索：把一半的数放到一边，另一半的数放在另一边，然后把所有可能的价格保存下来，记左边的为l,那么右边就必须凑齐m-l,然后我们将右边排个序，用二分查找一下上界和下界即可.

8.考虑一个翻硬币游戏。有N(N<=10000)行硬币，每行9个，
排成一个N*9的方阵，有的正面朝上有的反面朝上。我们
每次把一整行或者一整列的所有硬币翻过来，请问怎么翻，
使得正面朝上的硬币尽量多。

分析：这是一类染色有伴随状态的问题，就是染色一个会牵连几个的那种，而且所给的方格一定有一个范围特别小，比如这道题的每行9个，这类题目有一个固定的解法，我们先看行和列，枚举较小的列，显然，把一列或一行翻两次是没有任何意义的，那么我们可以只用2^9次枚举每列到底翻不翻，然后得出来的状态再枚举每一行到底翻不翻，如果翻过来正面朝上的硬币比不翻正面朝上的硬币多，就翻，否则就不翻，然后就可以解决这道题.

9.农夫约翰知道, 聪明的奶牛可以产更多的牛奶。他为奶牛计了一种智
力游戏, 名叫翻转棋。翻转棋可以分成M *N(1 <=M,N<=15) 个格子,
每个格子有两种颜色, 一面是黑的, 一面是白的。
• 一旦翻转某个格子, 这个格子的颜色就会颠倒。如果把所有的格子都
翻成白的, 就算奶牛赢了。然而, 奶牛的蹄子很大,一旦它们打算翻转
某个格子, 这个格子附近(即和这个格子有公共边) 的格子也会被翻转。
一直翻来翻去也很无聊, 奶牛们想最小化必须翻动的次数。
• 请帮助奶牛确定翻动的最少次数和具体的翻法。如果最小解有多个,
则输出在字典序意义下最小的那个, 如果不可能完成任务, 则只要输
出IMPOSSIBLE。

分析：还是和上题一样的，我们枚举第一行翻哪些，要算2^15次，然后完全可以根据第一行的状态向下推，如果第一行有格子没翻，那么下一行这一列的格子就必须要翻，然后模拟到最后一行看看符不符合要求即可。

10.给出n根小棒的长度stick[i]，已知这n根小棒原本由若干
根长度相同的长木棒（原棒）分解而来。求出原棒的最
小可能长度。
• 9
• 5 2 1 5 2 1 5 2 1
• 6

分析：这是一道比较有意思的搜索题，首先明确搜索的对象，我们不能枚举把哪些木棍拼起来，一是难以实现，二是复杂度高，那么我们完全可以枚举长木棒的长度。但是枚举总要有个范围吧，最大肯定是这些小棒的长度和，最小肯定是这些小棒中最长的那一个，同时要满足长度是小棒和的因数，只有这样才能拆分成正整数段，然后就是添加剪枝的环节了.

     1.如果当前拼成的长度+枚举的小木棍的长度 != 长木棒长，剪枝！

     2.如果一个小木棍用过一次了，后来还有和它相同长度的，并且没有方案可行，就不要搜这个长度的木棍了.

     3.长度从大到小排序.原理：越到后来状态越多

11.有一个R*C(<=21)的矩阵，每个格子上包含一个0~20的整数。
求有多少条包含21个格子的路径满足：路径上相邻两个格子
必须有一条公共边，并且0~20每个数都在路径上出现一次。

分析：我们可以枚举起点，找终点，这样会T.但是我们可以换一个想法，折半搜索！基本上可以一分为二的搜索都可以用折半搜索来做，具体是怎么做呢？枚举路径的中点，一边扩展10步，另一边扩展10步，每一步都不能走已经出现过的，一旦一端不能走，立即pass掉这个状态.

12.一个10*10的连连看状态，然后问你最后能不能全部消没。
（多组数据）

分析：一开始可以想到枚举消掉哪两个点，然后看能不能，这样判断就好麻烦，更不谈超时的问题。但是，我们可以有另外一种高端的思路：从一个点开始走看能消掉哪些点，然后我们看到底消不消，消哪个，这就是dfs的问题了，至于怎么找消掉的点，很简单，bfs即可.有一个剪枝：如果给定图中有色块是奇数个，那么肯定消不掉.

13.地图包含一些小方格，每格要么是墙（鬼不能进入）要么是走廊（鬼能进入）。
• 每一步里，你可以同时移动任意数量的鬼，每个鬼要么待在原地不动，要么移动
到相邻的格子里（相邻的格子有公共边），如果移动满足下列条件，则移动是可
行的：
• 1、 没有一个以上的鬼在同一个格子里；
• 2、 没有一对鬼在一步里交换了位置。

问：最少要几步到达最终状态？

分析：同时枚举多个鬼走的bfs，注意一下判重就好了，优化的话可以用双向bfs.

14.足柄希望做成体积为Nπ的咖喱，为了做得好看为自己加分，决定把自己
的咖喱做成蛋糕的形状，并且有M层，每一层都是一个圆柱体，并且每
一层的半径和高度都要比下面的那一层要小。
但是做成，需要很多黄金比例辛香料洒在咖喱的表层，为了不麻烦间宫
小姐，足柄希望做成的蛋糕的表面积Sπ尽可能小。

分析：半径和高度都是正整数，而且每一层都要严格大于上一层，所以最后一层的高度和r至少要从m枚举.

那么我们从最后一层开始dfs,加几个最优性剪枝：1.如果当前表面积+切出来的表面积>ans,剪！ 2.如果当前体积+最大体积<Nπ，剪！3.如果当前体积+切出来的体积 > ans,剪！ 4.h和r都从大到小枚举，因为只要输出一种答案嘛，玄学玄学,这样因为可以搜的状态减少，会降低复杂度.

15.八数码问题
将分别标有数字1，2，3，…，8的八块正方形数码牌任意地放
在一块3×3的数码盘上。放牌时要求不能重叠。于是，在3×3
的数码盘上出现了一个空格。现在要求按照每次只能将与空格
相邻的数码牌与空格交换的原则，将任意摆放的数码盘摆成如
下的状态。
1 2 3
4 5 6
7 8 x

分析：这道题显然不能用dfs,考虑能否bfs?其实可以，但是保存数据有点困难，但是也是可以做的，方法就是康拓展开！a * 8！+ b * 7! + c * 6! + d * 5! + e * 4! + f * 3！+ g * 2! + h * 1! + i * 0!

可以证明这个式子是表示的唯一一个局面，具体的就不说了，我们暂且抛弃掉bfs这种解法，可以想到迭代加深搜索，事实上，类似于八数码问题我们都可以用迭代加深搜索解决，因为它既可以清楚地求出最少步数，也可以不用记录那么多状态。

16.在一个4*4的棋盘上摆放了14颗棋子，其中有7颗白色棋子，7颗黑色棋
子，有两个空白地带，任何一颗黑白棋子都可以向上下左右四个方向移
动到相邻的空格，这叫行棋一步， 黑白双方交替走棋，任意一方可以先
走，如果某个时刻使得任意一种颜色的棋子形成四个一线（包括斜线），
这样的状态为目标棋局。

分析：类似八数码问题，我们每次只需要考虑2个空白方块的移动即可.

17.骑士精神：传送门

18.引水入城：传送门

19.靶形数独：传送门

20.poj1324 这个题暂时还没什么思路，到时候我会补上的

总结：其实搜索的知识很简单，知道以下几个原则：

     1.要求“最小步数”一类问题可以用bfs,其他的用dfs也能解决

     2.如果搜索树上的某一分支太长，不要考虑dfs

     3.内存过大不要用bfs

     4.如果都不能用就用迭代加深吧

     5.万能优化：启发式搜索估价函数！

剪枝的话：1.考虑最优化剪枝，一般就是当前解+可能的解要小于ans 2.可行性剪枝，就是看到底能不能搜到答案.