Shadow Mapping 的原理与实践（一）

早在上世纪七十年代末，Williams在他的“Casting Curved Shadows on Curved Surface”一文中提出了名为Shadow Map的阴影生成技术。之后，他人在此基础上针对相关问题做了许多改进。现在，Shadow Map仍被作为主流的阴影生成技术被广泛应用。

　　 Z缓冲在一开始就是Shadow Map技术的实现基础。讨论Shadow Map技术的意义，不仅在于了解一种阴影生成技术，还在于可借此掌握一种很有用的技术手段。物体表面上一点，只有在与光源之间没有障碍阻隔时，它的深度值才会被保存到Z缓冲中。换个角度看，这就相当于，在物体表面上某点的深度值被保存到Z-Buffer之前，用此点与光源间连线与场景中所有对象做了一次碰撞检测。借用Z-Buffer做碰撞检测的这一方法，还可以用来帮助处理许多其它问题。

一、Shadow Map 原理

Shadow Map实际上比阴影体的原理要简单一些。阴影体是借助Stencil Buffer来做碰撞（观察者视线与阴影体中可能存在的障碍物之间），而Shadow Map则借助Z-Buffer来做碰撞检测。

图一

如图一所示，假设三维空间中，有物体W在光源L照射下形成阴影。空间中的a点位于W与L之间，c 点位于W之后，而b点是W表面上的一点。a、b、c、d经透视投影变换，在屏幕S上对应着a'、b'、c'、d'四个像素区域。

Shadow Map的思想方法是：假设先在光源L处放置一个摄像机（形成所谓的Light Space），则此像机将会把整个场景投影到相应的投影平面H上，其视锥在H平面上的投影是h1和h2两块区域之合。平面H所对应的Z-Buffer保存的是Light Space的所有对象（本例中仅有W）的深度值。在实际生成观察平面S上的像素时，会先将像素对应的空间中的点（如上图中a'、b'、c'、d'所对应的a、b、c、d）转换到Light Space中，投影到H平面上，并将相应的深度值与事先保存在H平面所对应的Z-Buffer的深度值进行比较，以图一为例，a点会投影到区域h1中，由于它位于W之前，其深度值会比H平面的相应Z-Buffer中的值小；b点在h1上的投影点的深度值等于H平面的相应Z-Buffer中的值；c点在h1上的投影点的深度值，则会大于H平面的相应Z-Buffer中的值；由于在生成H平面的投影时，会事先刷新其Z-Buffer的值，刷新值为1，所以在本例中，空间d点在H上的投影的深度值也将小于相应点的Z-Buffer值；因此，通过空间中某一点在平面H上的投影的深度值与H平面原Z-Buffer中的值的比较结果，就可以判断此点是否处于阴影中，并可根据这个判断来设置观察平面S上的相应像素的颜色。

　　考虑这样一种情况，空间中的一点如果处于观察者V的视锥中，同时又位于Light Space的视锥之外，那么显然就无法通过上面的方法来判断它是否被阴影所覆盖。这也是Shadow Map的局限之处。

　　Z-Buffer值一般由图形引擎结合相应硬件，在渲染管线内部计算，用户只需直接调用即可。因此直接使用Z-Buffer的值高效而又方便。但是，通常情况下，Z-Buffer与Stencil Buffer合用4字节空间来描述一个像素，在Shadow Map中用来保存Light Space相应场景对象的深度值一般只有一个字节，而深度值是一个处于0~1之间的浮点数，这样势必会影响到后面的计算精度。这也可看作是传统Shadow Map的另一不足。

　　绕过Z-Buffer来实现Shadow Map，可以为解决这一问题提供一种方法。

二、Shadow Map的实践

　　本文的实验是通过Fx Composer 2.5在一台 Laptop上进行的，其内置一块 nVidia GT420M显卡。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图二

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图三

　　　　图二与图三是使用阴影前后的比较。这里没做镜面反射，处于影阴区的像素则被简单地直接涂黑。

　首先要做的，是生成一张Shadow Map数据图。因为不使用Z-Buffer，就要做一些额外的创建工作，为了把DIY精神贯彻到底，索性一切从头开始。

1. 先来构建Light Space的相关转换矩阵

　设置光源的位置和及Light Space的视锥投射方向：

1 float3 Lamp0Point = {0.0f,20.0f,0.1f};
2 float3 Lamp0LookAt = {0.0f,0.0f,0.0f};

1) 计算Light Space的View转换矩阵

设：

$\large \alpha _{1}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \end{pmatrix},\alpha _{2}=\begin{pmatrix} a_{21} &a_{22} &a_{23} \end{pmatrix},\alpha _{3}=\begin{pmatrix} a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$

$\large M=\begin{pmatrix} \alpha _{1}\\ \alpha _{2}\\ \alpha _{3} \end{pmatrix}$

　则根据仿射坐标系变换公式有：

$\large \begin{pmatrix} x_{r} &y_{r} &z_{r} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{t} &y_{t} &z_{t} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{0} &y_{0} &z_{0} \end{pmatrix}$

$\large =\begin{pmatrix} x_{t} &y_{t} &z_{t} \end{pmatrix}\times M + \begin{pmatrix} x_{0} &y_{0} &z_{0} \end{pmatrix}$

　其中，(x_t, y_t, z_t) 为空间一点p在Light Space坐标系中的坐标；(x_r, y_r, z_r)是点p在原世界坐标系中的坐标；M是原世界坐标系到Light Space坐标系的过渡矩阵；(x₀, y₀, z₀)是Light Space坐标系原点在原世界坐标系中的坐标值。α₁、 α₂、 α₃是Light Space坐标系的基向量，(a₁₁, a₁₂, a₁₃)、(a₂₁, a₂₂, a₂₃)、(a₃₁, a₃₂, a₃₃)是三个坐标轴向量在原世界坐标系中坐标。

　由上式可得：

$\large \begin{pmatrix} x_{t}, &y_{t}, &z_{t} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{r}-x_{0}, &y_{r}-y_{0}, &z_{r}-z_{0} \end{pmatrix}\times M^{-1}$

由于直角坐标系基向量互为正交向量，所以有：

$\large \begin{pmatrix} x_{t}, &y_{t}, &z_{t} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{r}-x_{0}, &y_{r}-y_{0}, &z_{r}-z_{0} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \alpha _{1}' &\alpha _{2}' &\alpha _{3}' \end{pmatrix}$

据此得到Light Space的View转换矩阵计算函数为：

 1 float4x4 LightViewMat(float3 lampPos, float3 lampLookAt)
 2 {    
 3     float3 lampDirt = lampLookAt - lampPos;
 4     
 5     float3 vUp = float3(0.0f, 1.0f, 0.0f);
 6     float3 vFront = normalize(lampDirt);
 7     float3 vRight = cross(vUp, vFront);
 8     vRight = normalize(vRight);
 9     vUp = cross(vFront, vRight);
10     vUp = normalize(vUp);
11 
12     // get the matrix from I to II 
13     float4x4 matTrans = 
14              {
15                  1,  0,  0, 0,
16                  0,  1,  0, 0,
17                  0,  0,  1, 0,
18                  -lampPos.x, -lampPos.y, -lampPos.z, 1,
19              };
20     
21     float4x4 matView = 
22              {
23                 vRight.x,  vUp.x,   vFront.x,   0,
24                 vRight.y,  vUp.y,   vFront.y,   0,
25                 vRight.z,  vUp.z,   vFront.z,   0,
26                 0,             0,          0,    1,
27              };
28              
29     float4x4 mView = mul(matTrans, matView);
30     
31     return mView;
32 }

2) 计算Light Space的投影矩阵

　　在设定了视锥体近裁剪平面和远裁剪平面的值后，根据给定的y方向的视角，就可以计算出投影平面上透视投影区域在y轴上的坐标范围（top值和bottom值）；再根据给出的宽高比（aspect），就可以方便地算出透视投影区域在x轴上的坐标范围（right值和left值）。透视投影矩阵的目的是将视锥转换为x∈[-1,1]，y∈[-1, 1]，z∈[0, 1]长方体（CVV）。经透视投影矩阵处理后的空间坐标，还要再做一个齐次化处理（将x,y,z值分别除以w）。一个处于视锥体内的点经透视变换和齐次化处理后，其坐标值必处于CVV体的范围内；一个处于视锥体外的点经透视变换和齐次化处理后，其坐标值必处于CVV体范围之外。这就是依靠CVV体进行裁剪的算法依据。实际上，裁剪操作在经过透视矩阵的转换后，在做齐次化处理之前就完成了，这样做可以大大减少运算量。

对于透视变换来说，有了投影平面上的相应点的x、y值，就可以直接画出物体在透视投影后的形状。投影平面上的x、y值通过等比关系就可以计算得到。透视变换后所得的点的z值，因为可以体现空间中各对象间的前后遮挡关系，所以也需要计算并保留下来。在实际计算时，由于要将处于视锥体内的各点的坐标范围转化到CVV体中，故而要通过 z' = a*z+b这种方式（而不是直接依靠几何上的等比关系）构造出来。具体过程可以参看这两篇文章。对于Shadow Map来说，透视投影所得的Z值尤为重要。

 1 float4x4 LightProjcetMat()
 2 {
 3     // get the matrix prjection
 4     float yfov = 1.57f;  // 90 degree
 5     float aspect = ViewPortSize.x/ViewPortSize.y;
 6     float n = 6.0f;
 7     float f = 100.0f;
 8     float dfn = f - n;
 9 
10     float t = 0.362*n*tan(yfov/2);
11     float b = -t;
12     float r = t*aspect;
13     float l = -r;
14     float drl = r - l;
15     float dtb = t - b;
16     float arl = r + l;
17     float atb = t + b;
18     
19     float4x4 matProj = 
20              {
21                  2*n/drl,     0,          0,        0,
22                  0,           2*n/dtb,    0,        0,
23                  arl/drl,     atb/dtb,    f/dfn,    1,
24                  0,           0,          -f*n/dfn,  0,
25              }; 
26              
27              
28     return matProj;
29 }

　　　第10行在计算t值时，多乘了一个0.362的缩放因子（根据实际情况调整），目的在于减少生成Shadow Map时的计算误差。第6行将近裁剪平面设为6.0而不是常见的1.0，也可起到同样的作用。

posted on 2013-07-27 19:47 yzwalkman 阅读(8435) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

刷新页面返回顶部

yzwalkman

导航

公告

Shadow Mapping 的原理与实践（一）