2014百度之星资格赛 1004:Labyrinth（DP）
Labyrinth
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1507 Accepted Submission(s): 520
Problem Description
度度熊是一只喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走，只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次只能走一格，且只能向上向下向右走以前没有走过的格子，每一个格子中都有一些金币（或正或负，有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币可以为负，需要给强盗写欠条），度度熊刚开始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？
Input
输入的第一行是一个整数T（T < 200），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。
每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。
Output
对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。
每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。
Sample Input
2
3 4
1 -1 1 0
2 -2 4 2
3 5 1 -90
2 2
1 1
1 1
Sample Output
Case #1:
18
Case #2:
4
DP题。
一开始用DFS做的，果断超时。看讨论版才发现需要用DP，当时就蔫了，后来还是查了网上的题解，才明白怎么用DP解这道题，对DP的理解更深了。下面是思路：
思路：这道题的思路是一列列的确定每一个格子的最大金币数。先确定第一列的最大金币数，因为只能向下走，所以很好求。之后每一列每格的最大金币数可以由前一列求得。
例如要求dp[i][j]（dp[][]的含义是走到这个位置的最大金币数），则从前一列有3种走法到这个格子：
1、它的左边一个格子，即a[i][j-1]，直接向右走一个格子；
2、a[i][j-1]上面的所有格子，可以先向右走一个格，然后向下一直走到a[i][j]的位置；
3、a[i][j-1]下面的所有格子，可以先向右走一个格，然后向上一直走到a[i][j]的位置。
遍历上述所有路径的过程中需要记录一个最大值，最后这个值就是dp[i][j]的值。
由此可知，确定该位置的每一种路径，需要遍历m次。而你需要确定每一列的每一个格子的dp[][]值，所以这个算法的时间复杂度为O(n*m*m)。
代码：
1 #include <iostream>
2 #include <stdio.h>
3 using namespace std;
4 #define inf 0x7fffffff
5 int a[110][110];
6 int dp[110][110]; //记录走到某一位置的金币最大值
7 int m,n;
8 void DP()
9 {
10 int i,j,k;
11 dp[1][1] = a[1][1];
12 for(i=2;i<=m;i++) //初始化第一列
13 dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1];
14 for(i=2;i<=n;i++){ //每一列 a[][i]
15 for(j=1;j<=m;j++){ //每一列的每一个位置 a[j][i]
16 //有三种路径到达这个位置。
17 //1.它左边的位置直接向右走过来。
18 //2.它左边的位置的上面所有位置向右再一直向下走到这个位置。
19 //3.它左边的位置的下面所有位置向右再一直向上走到这个位置。
20 //不断比较，在这个位置处 dp[j][i] 记录以上3条路径的最大值。即为走到这个位置的能拥有的最大金币数。
21 //这是以 a[j][i] 为重心考虑，遍历到达 a[j][i]的三种路径，求出最大值
22 int t = dp[j][i-1] + a[j][i];
23 if(t>dp[j][i])
24 dp[j][i] = t;
25 for(k=j-1;k>=1;k--){
26 //a[k][i-1] --> a[j][i]这个位置所拥有的金币数
27 t = t-dp[k+1][i-1]+dp[k][i-1]+a[k][i];
28 if(t>dp[j][i])
29 dp[j][i] = t;
30 }
31 t = dp[j][i-1] + a[j][i];
32 for(k=j+1;k<=m;k++){
33 //a[k][i-1] --> a[j][i]这个位置所拥有的金币数
34 t = t-dp[k-1][i-1]+dp[k][i-1]+a[k][i];
35 if(t>dp[j][i])
36 dp[j][i] = t;
37 }
38 }
39 }
40 }
41 int main()
42 {
43 int i,j,Case,T;
44 scanf("%d",&T);
45 for(Case=1;Case<=T;Case++){
46 scanf("%d%d",&m,&n);
47 for(i=1;i<=m;i++) //输入迷宫，初始化dp[][]
48 for(j=1;j<=n;j++){
49 scanf("%d",&a[i][j]);
50 dp[i][j] = -inf;
51 }
52 printf("Case #%d:\n",Case);
53 DP();
54 printf("%d\n",dp[1][n]);
55 }
56 return 0;
57 }
贴上超时的DFS代码：
1 #include <iostream>
2 #include <stdio.h>
3 #include <string.h>
4 using namespace std;
5 int Max;
6 int a[110][110];
7 bool isv[110][110];
8 int dx[3] = {1,-1,0};
9 int dy[3] = {0,0,1};
10 int m,n;
11 bool judge(int x,int y)
12 {
13 if(x<1 || x>m || y<1 || y>n)
14 return true;
15 if(isv[x][y])
16 return true;
17 return false;
18 }
19 void dfs(int x,int y,int money)
20 {
21 if(x==1 && y==n){
22 if(money>Max)
23 Max=money;
24 }
25 int i;
26 for(i=0;i<3;i++){
27 int nx = x+dx[i];
28 int ny = y+dy[i];
29 if(judge(nx,ny))
30 continue;
31 //可以走
32 isv[nx][ny] = true;
33 dfs(nx,ny,money+a[nx][ny]);
34 isv[nx][ny] = false;
35 }
36 }
37 int main()
38 {
39 int i,j,Case,T;
40 scanf("%d",&T);
41 for(Case=1;Case<=T;Case++){
42 scanf("%d%d",&m,&n);
43 for(i=1;i<=m;i++)
44 for(j=1;j<=n;j++)
45 scanf("%d",&a[i][j]);
46 printf("Case #%d:\n",Case);
47 Max=0;
48 memset(isv,0,sizeof(isv));
49 isv[1][1] = true;
50 dfs(1,1,a[1][1]);
51 printf("%d\n",Max);
52 }
53 return 0;
54 }
Freecode : www.cnblogs.com/yym2013
