POJ 1837 -- Balance(DP)

 POJ 1837 -- Balance

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提示：动态规划，01背包

初看此题第一个冲动就是穷举。。。。不过再细想肯定行不通= =O(20^20)等着超时吧。。。

我也是看了前辈的意见才联想到01背包，用动态规划来解

 

题目大意：

有一个天平，天平左右两边各有若干个钩子，总共有C个钩子，有G个钩码，求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。

其中可以把天枰看做一个以x轴0点作为平衡点的横轴

输入：

2 4 //C 钩子数 与 G钩码数

-2 3 //负数：左边的钩子距离天平中央的距离；正数：右边的钩子距离天平中央的距离c[k]

3 4 5 8 //G个重物的质量w[i]

 

 

dp思路：

每向天平中方一个重物，天平的状态就会改变，而这个状态可以由若干前一状态获得。

 

首先定义一个平衡度j的概念

当平衡度j=0时，说明天枰达到平衡，j>0，说明天枰倾向右边（x轴右半轴），j<0则相反

那么此时可以把平衡度j看做为衡量当前天枰状态的一个值

因此可以定义一个 状态数组dp[i][j]，意为在挂满前i个钩码时，平衡度为j的挂法的数量。

由于距离c[i]的范围是-15~15，钩码重量的范围是1~25，钩码数量最大是20

因此最极端的平衡度是所有物体都挂在最远端，因此平衡度最大值为j=15*20*25=7500。原则上就应该有dp[ 1~20 ][-7500 ~ 7500 ]。

因此为了不让下标出现负数，做一个处理，使使得数组开为 dp[1~20][0~15000]，则当j=7500时天枰为平衡状态

 

那么每次挂上一个钩码后，对平衡状态的影响因素就是每个钩码的 力臂

力臂=重量 *臂长 = w[i]*c[k]

那么若在挂上第i个砝码之前，天枰的平衡度为j

   (换言之把前i-1个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度为j)

则挂上第i个钩码后，即把前i个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度 j=j+ w[i]*c[k]

   其中c[k]为天枰上钩子的位置，代表第i个钩码挂在不同位置会产生不同的平衡度

 

不难想到，假设 dp[i-1][j] 的值已知，设dp[i-1][j]=num

               （即已知把前i-1个钩码全部挂上天枰后得到状态j的方法有num次）

   那么dp[i][ j+ w[i]*c[k] ] = dp[i-1][j] = num

(即以此为前提，在第k个钩子挂上第i个钩码后，得到状态j+ w[i]*c[k]的方法也为num次)

 

想到这里，利用递归思想，不难得出 状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）

有些前辈推导方式稍微有点不同，得到的 状态方程为dp[i][j] =∑(dp[i - 1][j - c[i] * w[i]])

 

其实两条方程是等价的，这个可以简单验证出来，而且若首先推导到第二条方程，也必须转化为第一条方程，这是为了避免下标出现负数

 

结论：

最终转化为01背包问题

状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）

初始化：dp[0][7500] = 1;   //不挂任何重物时天枰平衡，此为一个方法

 

复杂度O(C*G*15000)  完全可以接受

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm> 
using namespace std;
const int maxc = 15*25*20*2 + 1;
int dp[21][maxc];
///dp[i][j]当第i个砝码挂上后，平衡度为j的挂法数量
///dp[G][0]为答案 
int X[21];
int main()
{

    int C,G;//C为钩盘数，G为砝码数 
    while(cin>>C>>G){
        for(int i=1;i<=C;i++)///输入每个钩盘距离0的位置 
            cin>>X[i];
        int weight;
        
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][7500] = 1;//7500为天枰达到平衡状态时的平衡度  
                       //放入前0个物品后，天枰达到平衡状态7500的方法有1个，就是不挂钩码 
        for(int i=1;i<=G;i++)
        {
            cin>>weight;
            for(int j=0;j<=15000;j++)
            {
                if(dp[i-1][j])
                    for(int k = 1;k<=C;k++)
                        dp[i][j+weight*X[k]] += dp[i-1][j];
            }
         } 
         cout<<dp[G][7500]<<endl;
    }
    return 0;
 } 

 

下列代码，提示，要注意循环结构的次序

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm> 
using namespace std;
const int maxc = 15*25*20*2 + 1;
int dp[21][maxc];
///dp[i][j]当第i个砝码挂上后，平衡度为j的挂法数量
///dp[G][0]为答案 
int X[21];
int main()
{

    int C,G;//C为钩盘数，G为砝码数 
    while(cin>>C>>G){
        for(int i=1;i<=C;i++)///输入每个钩盘距离0的位置 
            cin>>X[i];
        int weight;
        
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][7500] = 1;//7500为天枰达到平衡状态时的平衡度  
                       //放入前0个物品后，天枰达到平衡状态7500的方法有1个，就是不挂钩码 
        for(int i=1;i<=G;i++)
        {
            cin>>weight;
            for(int k = 1;k<=C;k++)
            {
                for(int j=0;j<=15000;j++)
                {
                    if(dp[i-1][j])
                            dp[i][j+weight*X[k]] += dp[i-1][j];
                }
            }
            
         } 
         cout<<dp[G][7500]<<endl;
    }
    return 0;
 }