【XSY2903】B 莫比乌斯反演

题目描述

　　有一个\(n\times n\)的网格，除了左下角的格子外每个格子的中心里都有一个圆，每个圆的半径为\(R\)，问你在左下角的格子的中心能看到多少个圆。

　　\(n\leq {10}^9,R_0\leq {10}^6,R=\frac{R_0}{{10}^6}\)

题解

　　先枚举格子，判断是否能看到。

　　显然能看到就一定能看到圆的中心。

　　条件是：

\[\begin{align} \frac{\lvert Ax+By\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}&\leq R\\\ \lvert Ax+By\rvert&\leq R\sqrt{A^2+B^2}\\\ {(Ax+By)}^2&\leq R^2(A^2+B^2)\\\ \frac{{(Ax+By)}^2}{A^2+B^2}&\leq R^2\\ \end{align} \]

　　如果\(\gcd(a,b)\neq 1\)，那么一定会被挡住。

　　否则一定存在\(x,y,s.t.ax+by=1\)

\[\begin{align} \frac{1}{A^2+B^2}&\leq R^2\\ A^2+B^2&\geq \frac{1}{R^2} \end{align} \]

　　那么现在我们要求的就是

\[\begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=1][i^2+j^2<R^2]\\ =&\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{1\leq i,j\leq \frac{n}{d}}[i^2+j^2<\frac{R^2}{D^2}] \end{align} \]

　　时间复杂度：\(O(\frac 1R\log \frac 1R)\)

题解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
ll ans;
ll calc(ll n,ll r)
{
	ll j=0;
	while(j<n&&(j+1)*(j+1)<=r)
		j++;
	ll s=0;
	for(int i=1;i<=n&&(ll)i*i<=r;i++)
	{
		while((ll)i*i+j*j>r)
			j--;
		s+=j;
	}
	return s;
}
int miu[1000010];
int b[1000010];
int pri[1000010];
int cnt;
int main()
{
	open("b");
	ll n,r;
	scanf("%lld%lld",&n,&r);
	r=(ll)1e12/r/r;
	miu[1]=1;
	n--;
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
	{
		if(!b[i])
		{
			pri[++cnt]=i;
			miu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++)
		{
			b[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
				break;
			miu[i*pri[j]]=-miu[i];
		}
	}
	for(int i=1;(ll)i*i<=r;i++)
		if(miu[i])
			ans+=miu[i]*calc(n/i,r/i/i);
	ans+=2;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}